Question

14．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，直線MN和y軸之間存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，在第Ⅳ象限和第I象限的射線OC右下區(qū)域存在垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子從電場(chǎng)左邊界上的A點(diǎn)沿x軸正方向射入電場(chǎng)，A點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為2L，質(zhì)點(diǎn)經(jīng)y軸上的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，P點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為L(zhǎng)．帶電粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后又從磁場(chǎng)邊界OC上的Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)（Q點(diǎn)未標(biāo)出），并從y軸上的D點(diǎn)垂直于y軸再次進(jìn)入電場(chǎng)．不計(jì)帶電粒子的重力，求：
（1）帶電粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度v₀；
（2）粒子由A點(diǎn)到D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間；
（3）O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子的初速度．
（2）求出粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、離開電場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后應(yīng)用幾何知識(shí)求出距離．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：2L=v₀t₁，
豎直方向：L=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：2L=v₀t₁，
豎直方向：L=$\frac{{v}_{y}}{2}$t₁，
解得：v_y=v₀，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度：v=$\sqrt{2}$v₀，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)粒子速度方向與y軸負(fù)方向夾角：
tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=1，解得：θ=45°，
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角：
α=360°-（180°-θ）=360°-（180°-45°）=225°，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{135°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{4qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
粒子離開磁場(chǎng)到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間：t₃=$\frac{QD}{v}$=$\frac{rsin45°}{v}$=$\frac{\sqrt{2}m}{2qB}$，
粒子由A到D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{5πm+2\sqrt{2}m}{4qB}$；
（3）由幾何關(guān)系可知：OD+OP=r+rcos45°，
解得：OD=$\frac{2+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$-L；
答：（1）帶電粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度v₀為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$．
（2）粒子由A點(diǎn)到D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間為$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{5πm+2\sqrt{2}m}{4qB}$；
（3）O點(diǎn)到D點(diǎn)的距離：$\frac{2+\sqrt{2}}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$-L．

點(diǎn)評(píng) 解決質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，關(guān)鍵是找到軌跡，定出圓心，構(gòu)造三角形得到半徑表達(dá)式，然后結(jié)合半徑公式和周期公式解決．