Question

12．如圖所示，真空中以O(shè)′為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)只存在垂直紙面向外的勻強磁場，圓形區(qū)域的最下端與xOy坐標系的x軸相切于坐標原點O，圓形區(qū)域的右端與平行y軸的虛線MN相切，在虛線MN右側(cè)x軸的上方足夠大的范圍內(nèi)有方向水平向左的勻強電場，電場強度大小為E．現(xiàn)從坐標原點O沿xOy平面在y軸兩側(cè)各30°角的范圍內(nèi)發(fā)射速率均為v₀帶正電粒子，粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r，已知粒子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計粒子的重力、粒子對電磁場的影響及粒子間的相互作用力，求：
（1）磁場的磁感應(yīng)強度B的大��；
（2）沿y軸正方向射入磁場的粒子，在磁場和電場中運動的總時間；
（3）若將勻強電場的方向調(diào)為豎直向下，其他條件不變，則粒子達到x軸的最遠位置與最近位置之間的距離．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力列方程求B的大小；
（2）作出粒子運動軌跡，確定粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角后可確定磁場中的時間，由牛頓第二定律和勻變速直線運動的速度時間公式可求得電場的時間；
（3）當粒子沿著y軸兩側(cè)30°角射入時，將會沿著水平方向射出磁場區(qū)域，之后垂直虛線MN分別從P'、Q'射入電場區(qū)，做類平拋運動，應(yīng)用類平拋運動規(guī)律求出粒子達到x軸的最遠位置與最近位置之間的距離．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，
由qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$  ①，
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$ ②
（2）分析可知，帶電粒子運動過程如圖所示，

由粒子在磁場中運動的周期T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$     ③
可知粒子第一次在磁場中運動的時間：t₁=$\frac{1}{4}$T    ④
t₁=$\frac{πr}{2{v}_{0}}$       ⑤
粒子在電場中的加速度a=$\frac{qE}{m}$ ⑥
粒子在電場中減速到0的時間：t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{m{v}_{0}}{qE}$   ⑦
由對稱性，可知運動的總時間：t=2t₁+2t₂=$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$  ⑧
（3）由題意分析可知，

當粒子沿著y軸兩側(cè)30°角射入時，將會沿著水平方向射出磁場區(qū)域，之后垂直虛線MN分別從P'、Q'射入電場區(qū)，做類平拋運動，最終到達x軸的位置分別為最遠位置P和最近位置Q．                                       
由幾何關(guān)系P'到x軸的距離y₁=1.5r
t₁=$\sqrt{\frac{2{y}_{1}}{a}}$=$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$ 
最遠位置P坐標為x₁=v₀t₁=v₀$\sqrt{\frac{3mr}{qE}}$           
Q'到x軸的距離y₂=0.5r            
t₂=$\sqrt{\frac{2{y}_{2}}{a}}$=$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$ 
最近位置Q坐標為x₂=v₀t₂=v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$                                    
所以，坐標之差為△x=x₁-x₂=（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$；                     
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qr}$；
（2）沿y軸正方向射入磁場的粒子，在磁場和電場中運動的總時間為$\frac{πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）則粒子達到x軸的最遠位置與最近位置之間的距離為（$\sqrt{3}$-1）v₀$\sqrt{\frac{mr}{qE}}$．

點評 考查粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，在電場力作用下做類平拋運動，掌握兩種運動的處理規(guī)律，學會運動的分解與幾何關(guān)系的應(yīng)用．注意正確做出運動軌跡是解題的重點．