Question

7．隨著汽車工業(yè)的發(fā)展和轎車進入千家萬戶，汽車的行駛安全已引起人們的廣泛關(guān)注．汽車在彎道上轉(zhuǎn)彎時若不注意控制好車速，很容易造成側(cè)滑或側(cè)翻而釀成交通事故．
（1）若汽車在水平路面上沿半徑為R₁=144m的彎道行駛，路面作用于汽車的最大側(cè)向靜摩擦力是車重的μ=0.4倍，要使汽車不側(cè)滑，則車速最大值v₁為多少？重力加速度g取10m/s²．
（2）為有效防止側(cè)滑或側(cè)翻，在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內(nèi)低．在某路段汽車向左拐彎，司機左側(cè)的路面比右側(cè)的路面稍低一些（路面與水平面的夾角θ很小）．若彎道為半徑R₂=1200m的一段圓弧，路面寬度L=15米．當(dāng)車速v₂為72km/h時要使車輪與路面之間恰無側(cè)向摩擦力，則道路外沿比內(nèi)沿高h(yuǎn)為多少？同樣，路面作用于汽車的最大側(cè)向靜摩擦力是車重的μ=0.4倍，估算此段彎道汽車行駛的安全速度v_m為多少？（提示：當(dāng)θ很小時，cosθ≈1，tanθ≈sinθ）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)車以最大的速度v₁轉(zhuǎn)彎時，最大側(cè)向靜摩擦力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解；
（2）設(shè)道路外沿比內(nèi)沿高h(yuǎn)，此時汽車v₂的速度通過彎道時，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解，在此路面上汽車以最大速度v_m轉(zhuǎn)彎時，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，根據(jù)水平方向合力提供向心力求解最大速度．

解答 解：（1）當(dāng)車以最大的速度v₁轉(zhuǎn)彎時，最大側(cè)向靜摩擦力提供向心力：f_m=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$
且f_m=0.4mg，代入數(shù)據(jù)得v₁=24m/s                        
（2）設(shè)道路外沿比內(nèi)沿高h(yuǎn)，路面與水平面的夾角為θ，此時汽車v₂的速度通過彎道時，重力和支持力的合力在水平方向上，用來提供向心力：mgtanθ=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$
72km/h=20m/s，
因為θ很小，tanθ≈sinθ，即tanθ≈sinθ=$\frac{h}{l}$                   
代入數(shù)據(jù)得h=0.5m                                          
在此路面上汽車以最大速度v_m轉(zhuǎn)彎時，f_mcosθ+mgtanθ=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{2}}$         
當(dāng)θ很小時，cosθ≈1，tanθ≈sinθ，代入數(shù)據(jù)得：
v_m=$20\sqrt{13}$m/s≈72m/s=260 km/h                      
答：（1）要使汽車不側(cè)滑，則車速最大值v₁為24m/s．
（2）當(dāng)車速v₂為72km/h時要使車輪與路面之間恰無側(cè)向摩擦力，則道路外沿比內(nèi)沿高h(yuǎn)為0.5m，同樣，路面作用于汽車的最大側(cè)向靜摩擦力是車重的μ=0.4倍，估算此段彎道汽車行駛的安全速度v_m為260km/h．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道汽車拐彎向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律進行求解，難度適中．