Question

4．如圖1所示，在y＞0.1m和y＜0區(qū)域的勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=1T，在0≤y≤0.1m區(qū)域的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)隨時(shí)向變化如圖2E-t圖象所示，其中T₀=2π×10^-6s．E為正時(shí)表示場強(qiáng)方向與y軸正方向相同，t=0時(shí)刻在坐標(biāo)原點(diǎn)0有一個(gè)速度為0、比荷為1O⁶ C/kg的帶正電粒子．（重力不計(jì)，計(jì)算時(shí)可認(rèn)為π²=10）．求

（1）帶電粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。唬�
（2）帶電粒子第一次從磁場中出來時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）帶電粒子速度第一次達(dá)到最大經(jīng)歷的時(shí)間及最大速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理求解帶電粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律求解出其軌跡半徑，由幾何知識確定粒子第一次從磁場中出來時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）由圓周運(yùn)動的公式求出粒子在磁場中運(yùn)動的周期．根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系分析粒子在電場中的運(yùn)動情況，從而判斷出速度第一次達(dá)到最大經(jīng)歷的時(shí)間．由動能定理求解最大速度的大�。�

解答 解：（1）電場的寬度為 d=0.1m，帶電粒子經(jīng)電場加速一次后速度設(shè)為v₁．
有：qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得 v₁=$\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$=2×10⁵m/s
運(yùn)動時(shí)間 t₁=$\frac5hd1lrb{\frac{{v}_{1}}{2}}$=10^-6 s$＜\frac{{T}_{0}}{2}$
所以帶電粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為2×10⁵m/s．
（2）帶電粒子以v₁速度進(jìn)入上方的勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
得半徑為 r₁=$\frac{m{v}_{1}}{qB}$=0.2m
所以帶電粒子第一次從磁場中位置坐標(biāo)為：
  x₁=-r₁=-0.4m
  y₁=d=0.1m
（3）運(yùn)動周期為 T=$\frac{2π{r}_{1}}{{v}_{1}}$=2π×10^-6s
由于T=T₀，所以當(dāng)帶電粒子在電場中加速N次時(shí)間達(dá)到$\frac{{T}_{0}}{2}$時(shí)，從下次開始在電場中做勻減速運(yùn)動，這時(shí)帶電粒子的速度最大，有：
  Nd=$\frac{1}{2}$•$\frac{qE}{m}（\frac{{T}_{0}}{2}）^{2}$
得 N=$\frac{qE{T}_{0}^{2}}{8md}$=π²≈10次
所以帶電粒子速度第一次達(dá)到最大經(jīng)歷的時(shí)間為
  t=$\frac{{T}_{0}}{2}$+（N-1）$\frac{T}{2}$=5T=π×10^-5s=3.14×10^-6s
帶電粒子經(jīng)電場加速N次后速度設(shè)為v_m，有：
  NqEd=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
可得最大速度為 v_m=$\sqrt{\frac{2NqEd}{m}}$=2π×10⁵=6.28×10⁵m/s
答：
（1）帶電粒子第一次進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為2×10⁵m/s；
（2）帶電粒子第一次從磁場中出來時(shí)的位置坐標(biāo)為（-0.4m，0.1m）；
（3）帶電粒子速度第一次達(dá)到最大經(jīng)歷的時(shí)間為3.14×10^-6s，最大速度的大小為6.28×10⁵m/s．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵分析清楚粒子的運(yùn)動規(guī)律，可與回旋加速器類比來理解，抓住周期性分析，運(yùn)用力學(xué)規(guī)律解答．