Question

11．量綱分析法是自然科學(xué)中一種重要的研究方法．通過量綱分析可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索．
（1）光滑水平面上的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)，可以猜想其周期與物體的質(zhì)量m和彈簧的勁度系數(shù)k有關(guān)，則其周期T=am^αk^β，a為待定的沒有單位的常數(shù)．已知在同一單位制下，兩物理量當(dāng)且僅當(dāng)其數(shù)值和單位都相等時(shí)才相等．則α、β分別為多大？
（2）（a）一質(zhì)量為m、長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)桿以角速度ω繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可表示為E_k=km^αl^βω^γ式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù)．由此求出α、β和γ的值．
（b）接（a），如果已知k=$\frac{1}{6}$，在桿的另一端固定一個(gè)質(zhì)量為m的小球，桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺，求細(xì)桿擺到豎直位置時(shí)的角速度ω．

Answer 1

分析 量綱分析是自然科學(xué)中一種重要的研究方法，它根據(jù)一切量所必須具有的形式來分析判斷事物間數(shù)量關(guān)系所遵循的一般規(guī)律．通過量綱分析可以檢查反映物理現(xiàn)象規(guī)律的方程在計(jì)量方面是否正確，甚至可提供尋找物理現(xiàn)象某些規(guī)律的線索．
細(xì)桿擺到豎直位置過程中，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒列出等式求解角速度．

解答 解：（1）周期與物體的質(zhì)量m和彈簧的勁度系數(shù)k有關(guān)，則其周期T=am^αk^β，a為待定的沒有單位的常數(shù)，
質(zhì)量m的單位是kg，勁度系數(shù)k的單位是N/m，
根據(jù)F=ma得1N=1kg•m/s²，即勁度系數(shù)k的單位是1kg•s²，
周期T的單位是s，所以α=0.5，β=-0.5，
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可表示為E_k=km^αl^βω^γ式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù)．
質(zhì)量m的單位是kg，長度l的單位是m，ω的單位是1rad/s=1/s，
轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能E_k的單位是1J=1N•m=1kg•m²/s²，
α、β和γ的值分別是α=1；β=2，γ=2．
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒得
mg×$\frac{l}{2}$+mgl=$\frac{1}{2}$m（ωl）²+$\frac{1}{6}$ml²ω²，
解得：ω=$\sqrt{\frac{9g}{4l}}$．
答：（1）α、β分別為0.5和-0.5．
（2）α、β和γ的值分別是1，2，和2．
（3）細(xì)桿擺到豎直位置時(shí)的角速度是$\sqrt{\frac{9g}{4l}}$．

點(diǎn)評(píng) 各種物理量之間存在著關(guān)系，說明它們的結(jié)構(gòu)必然由若干統(tǒng)一的基礎(chǔ)成分所組成，并按各成分的多寡形成量與量間的千差萬別，正如世間萬物僅由百余種化學(xué)元素所構(gòu)成．明確兩個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，單個(gè)球機(jī)械能不守恒．