Question

13．光滑絕緣軌道由兩部分組成：水平軌道和豎直圓弧軌道，圓弧的半徑為r．兩軌道相切于B點(diǎn)，軌道處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．質(zhì)量為m，電量為q的小球從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，剛好可以通過(guò)圓弧軌道的最高點(diǎn)C，若AB等于$\frac{10}{3}r$．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E多大？
（2）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？
（3）小球的最大動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動(dòng)能定理研究小球由A→C的過(guò)程，求出小球在C點(diǎn)的速度大小，
（2）對(duì)小球在B點(diǎn)進(jìn)行受力分析，找出徑向提供向心力的外力，應(yīng)用牛頓第二定律解決．
（3）由等效法找到等效最高點(diǎn)，再由動(dòng)能定理及向心力公式可求得開(kāi)始的位置即可求得．

解答 解：（1）小球剛好過(guò)最高點(diǎn)C，軌道對(duì)小球無(wú)壓力，由重力提供向心力，有：$mg=m\frac{v_c^2}{r}$
得：${v_c}=\sqrt{gr}$
小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程：由動(dòng)能定理得：
qE×$\frac{10}{3}$r-mg×2r=$\frac{1}{2}mv_c^2-0$
得：$E=\frac{3mg}{4q}$
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程：由動(dòng)能定理得：
qE×$\frac{10}{3}$r=$\frac{1}{2}mv_B^2-0$
代入$E=\frac{3mg}{4q}$得
${v_B}=\sqrt{5gr}$
由重力和支持力的合力提供向心力有：$N-mg=m\frac{v_B^2}{r}$
代入${v_B}=\sqrt{5gr}$得：N=6mg
由牛頓第三定律：N′=N=6mg
（3）設(shè)最大動(dòng)能的位置在與OB成θ處如圖，由等效場(chǎng)思想可知：$tanθ=\frac{qE}{mg}=\frac{3}{4}$
θ=37°
由動(dòng)能定理：
${E_k}=qE（\frac{10}{3}r+rsin{37^0}）-mgr（1-cos{37^0}）$
${E_k}=\frac{11}{4}mgr$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{3mg}{4q}$
（2）小球經(jīng)過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力為6mg
（3）小球的最大動(dòng)能是$\frac{11}{4}mgr$

點(diǎn)評(píng) 在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場(chǎng)力，在解題的過(guò)程中，一定要分析清楚物體的受力和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，特別是小球恰好過(guò)D點(diǎn)的條件，根據(jù)動(dòng)能定理和牛頓第二定律靈活列式求解