Question

13．若我國宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面高為h處自由釋放小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落至月球表面．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．
（2）第一宇宙速度等于貼近星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度；

解答 解：（1）由自由落體運(yùn)動(dòng)：
$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
由萬有引力定律：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）根據(jù)萬有引力等于向心力：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{gR}=\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的第一宇宙速度v為$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運(yùn)用自由落體運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求出重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進(jìn)行列式求解