Question

6．如圖，板長為L、間距為d的平行金屬板水平放置，兩板間所加電壓大小為U，足夠大光屏PQ與板的右端相距為a，且與板垂直．一帶正電的粒子以初速度v₀沿兩板間的中心線射入，射出電場時粒子速度的偏轉(zhuǎn)角為37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計粒子的重力．

（1）求粒子的比荷q：m；
（2）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間僅加電場強(qiáng)度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)電場．設(shè)初速度方向所在的直線與光屏交點(diǎn)為O點(diǎn)，取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求粒子打在光屏上的坐標(biāo)（x，y，z）．

Answer 1

分析 （1）粒子在平行板中運(yùn)動時，受電場力作用做類平拋運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動的合成與分解，由射出電場時的速度方向可求出粒子的比荷；
（2）如果PQ空間僅加電場，根據(jù)運(yùn)動的合成與分解進(jìn)行處理，粒子在原來的x、y軸方向由于不受力，粒子將保持原有的勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，在z軸方向由于受到電場力作用，粒子做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，從而根據(jù)題意求出粒子打在屏上時的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)粒子射出電場時速度v的水平分量為v_x、豎直分量為v_y，
由于粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，故在水平方向分速度：
v_x=v₀，
水平方向的位移：
L=v_xt
所以粒子在電場中運(yùn)動的時間$t=\frac{L}{{v}_{x}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
在y軸方向粒子做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，加速度的大小為：$a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}=\frac{qU}{md}$
所以${v}_{y}=at=\frac{qU}{md}•\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{qUL}{md{v}_{0}}$
又如圖：


有：$tan37°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{qUL}{md{v}_{0}^{2}}$
由此可得：粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{3d{v}_{0}^{2}}{4UL}$；
（2）粒子從兩板間以速度v射出后做勻變速曲線運(yùn)動，沿x、y軸方向均做勻速直線運(yùn)動，沿z軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動．由題意知：
坐標(biāo) x=0

如圖速的反向延長線交中線于中點(diǎn)，故由幾何關(guān)系有：$y=（\frac{L}{2}+a）tan37°=\frac{3（L+2a）}{8}$
粒子射出平行板后在電場中運(yùn)動的時間 $t=\frac{a}{{v}_{0}}$，
在z軸方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動，即在z軸方向的坐標(biāo)：$z=\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}•{t}^{2}=\frac{3{a}^{2}d{E}_{0}}{8UL}$
則粒子打在光屏上的坐標(biāo)為$（0，\frac{3（L+2a）}{8}，\frac{3{a}^{2}d{E}_{0}}{8UL}）$．
答：（1）粒子的比荷q：m為$\frac{3d{v}_{0}^{2}}{4UL}$；
（2）若在兩板右側(cè)MN、光屏PQ間僅加電場強(qiáng)度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)電場．設(shè)初速度方向所在的直線與光屏交點(diǎn)為O點(diǎn)，取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，粒子打在光屏上的坐標(biāo)為$（0，\frac{3（L+2a）}{8}，\frac{3{a}^{2}d{E}_{0}}{8UL}）$．

點(diǎn)評 粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供圓周運(yùn)動的向心力．關(guān)于在電場中粒子偏轉(zhuǎn)問題主要從運(yùn)動的合成與分解入手求解．