Question

12．如圖所示，半球形球殼固定在距離水平面一定高度處，兩個(gè)小球A，B用質(zhì)量不計(jì)的細(xì)線連接，其中球A放在球殼的內(nèi)壁上，球B懸空吊起，將整個(gè)裝置無初速釋放．已知兩個(gè)小球A、B的質(zhì)量分別為M、m，且M＞m，重力加速度為g，半球形球亮的半徑為R．則當(dāng)球A運(yùn)動到球殼的最低點(diǎn)時(shí)，兩球的速率分別為多大？

Answer 1

分析 將裝置由靜止釋放后，兩球構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和兩球的速度關(guān)系列式，從而得到兩球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度的表達(dá)式．

解答 解：設(shè)A球滑到最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，此時(shí)B球的速度為v₂．
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  MgR-mg•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$
又因?yàn)?v₂=v₁cos45°
由以上兩式解得：v₁=$\sqrt{\frac{4（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$，v₂=$\sqrt{\frac{2（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$．
答：當(dāng)球A運(yùn)動到球殼的最低點(diǎn)時(shí)，A、B兩球的速率分別為$\sqrt{\frac{4（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$和$\sqrt{\frac{2（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$．

點(diǎn)評 本題是繩系系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題，要知道兩球沿繩子方向的分速度相等，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的，但對單個(gè)小球機(jī)械能并不守恒．