Question

11．如圖所示，遙控電動(dòng)賽車（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)由靜止出發(fā)，經(jīng)過時(shí)間t后關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，賽車?yán)^續(xù)前進(jìn)至B點(diǎn)后進(jìn)入固定在豎直平面內(nèi)的圓形光滑軌道，通過軌道最高點(diǎn)P后又繼續(xù)沿軌道運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入光滑的水平軌道CD，然后躍到水平軌道EF上（EF軌道足夠長(zhǎng)）．已知賽車在水平軌道AB部分運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的阻力恒為車重的0.5倍，賽車的質(zhì)量m=0.4kg，通電后賽車的電動(dòng)機(jī)以額定功率P=20W工作，軌道AB的長(zhǎng)度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略．D、E兩點(diǎn)間的高度差為h=0.45m，水平距離是s=1.8m．某次比賽，要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道ABPCD、又能躍到EF軌道上．試求：

（1）賽車在P點(diǎn)處的最小速度；
（2）賽車電動(dòng)機(jī)最短的工作時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)重力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出賽車在P點(diǎn)處的最小速度．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出P點(diǎn)的最小速度，抓住賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道ABPCD，又能躍到EF軌道上，得出P點(diǎn)處的最小速度．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合P點(diǎn)的最小速度，求出電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間．

解答 解：（1）賽車要越到EF軌道，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$=0.3s．
則平拋運(yùn)動(dòng)的最小速度為：v₁=$\frac{s}{t}$=$\frac{1.8}{0.3}$=6m/s．
根據(jù)動(dòng)能定理得：mg•2R=$\frac{1}{2}$$m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_p=4m/s．賽車要越過最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)的最小速度為v_p′，
根據(jù)mg=m$\frac{{v}_{p}^{′2}}{R}$
得：v′_p=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$=$\sqrt{5}$m/s．
所以要求賽車在運(yùn)動(dòng)過程中既不能脫離軌道ABPCD，又能躍到EF軌道上，在P點(diǎn)的最小速度為4m/s．
（2）設(shè)工作的最短時(shí)間為t，根據(jù)動(dòng)能定理得：
Pt-0.5mgL-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$-0
代入數(shù)據(jù)解得：t=0.56s．
答：（1）賽車在P點(diǎn)處的最小速度為4m/s；
（2）賽車電動(dòng)機(jī)最短的工作時(shí)間為0.56s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理與平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，綜合性較強(qiáng)，知道平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向和水平方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．