Question

18．如圖所示，兩根足夠長且平行的光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成53°夾角固定放置，導(dǎo)軌間連接一阻值為6Ω的電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計．在兩平行虛線m、n間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量為m_a=0.4kg，電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量為m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω；它們分別垂直導(dǎo)軌放置并始終與導(dǎo)軌接觸良好．a(chǎn)、b從開始相距L₀=0.5m處同時由靜止開始釋放，運(yùn)動過程中它們都能勻速穿過磁場區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場時，a正好進(jìn)入磁場（g取10m/s²，不計a、b之間電流的相互作用）．求：
（1）在穿越磁場的過程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動的速度大小之比
（2）磁場區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的寬度d
（3）在整個過程中，產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）兩棒勻速穿越磁場的過程中，安培力等于重力沿斜面向下的分力．a(chǎn)棒勻速通過時，a棒相當(dāng)于電源，求出總電阻，b棒勻速通過時，b棒相當(dāng)于電源，求出總電阻．根據(jù)平衡條件得到BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}}$=mgsinθ，即可求出速度之比．
（2）當(dāng)b棒到達(dá)m時，兩棒的速度相等，設(shè)b棒通過磁場的時間為t，則a棒到達(dá)m的速度v_a=v_b+gsin53°t，又d=v_bt，根據(jù)兩棒勻速運(yùn)動的速度關(guān)系，再根據(jù)速度位移公式，可求出磁場區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的寬度d．
（3）在a穿越磁場的過程中，因a棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，可求出對應(yīng)的安培力做功，同理b棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而求出安培力做功，則可得到兩棒整個過程中產(chǎn)生的總焦耳熱．

解答 解：（1）在b穿越磁場的過程中，b是電源，a與R是外電路，電路的總電阻為：
R_總1=R_b+$\frac{R{R}_{a}}{R+{R}_{a}}$=8Ω
同理，a棒在磁場中勻速運(yùn)動時，有：R_總2=R_a+$\frac{RRb}{R+Rb}$=6Ω
設(shè)b在磁場中勻速運(yùn)動的速度大小為v_b，則b中的電流為：I_b=$\frac{BLv}{{R}_{總1}}$
由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_}{{R}_{總1}}$=m_bgsin53°
同理，a棒在磁場中勻速運(yùn)動時：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{a}}{{R}_{總2}}$=m_agsin53°
可得：v_a：v_b=3：1
（2）設(shè)a、b穿越磁場的過程中的速度分別為v_a和v_b．由題意得：
 v_a=v_b+gtsin53°
 d=v_bt
因 v${\;}_{a}^{2}$-v${\;}_^{2}$=2gL₀sin53°
解得：d=0.25 m
（3）由F_安a=m_agsin53°，故W_a=m_agdsin53°=0.8 J
同理：W_b=m_bgdsin53°=0.2 J
在整個過程中，電路中共產(chǎn)生焦耳熱：Q=W_a+W_b=1 J
答：（1）在穿越磁場的過程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動的速度大小之比為3：1．
（2）磁場區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的寬度d是0.25m．
（3）在整個過程中，產(chǎn)生的總焦耳熱是1J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地對a、b棒進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況判斷物體的運(yùn)動情況．以及知道在勻速運(yùn)動時，安培力等于重力沿斜面方向的分力．