Question

7．星際探測是現(xiàn)代航天科技發(fā)展的重要課題，我國將發(fā)射探測器進行星際探測．如圖，某探測器從空間的O點沿直線ON從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，兩個月后與地球相遇于P點，再經(jīng)兩個月與地球相遇于Q點，已知引力常量G，地球公轉(zhuǎn)周期為T（12個月），忽略所有天體對探測器的影響，把地球繞太陽的運動看做勻速圓周運動．根據(jù)上述信息，估算出：
（1）OP之間的距離L；
（2）太陽的質(zhì)量M．（答案用題中給出的已知量代號和數(shù)據(jù)表示）

Answer 1

分析 地球繞太陽做勻速圓周運動，由太陽的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式列式得到地球的公轉(zhuǎn)周期與半徑的關(guān)系式；
對于探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，根據(jù)運動學(xué)公式可求得PQ間的距離與地球公式周期的關(guān)系．由幾何知識得到：PQ對應(yīng)的圓心角，得到地球公轉(zhuǎn)半徑與PQ的關(guān)系，即可聯(lián)立求得太陽的質(zhì)量．

解答 解：（1）對探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，則OP之間的距離為：
L=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{72}$，
（2）對地球：由太陽的萬有引力提供向心力，則有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$…①
得：M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$…②
對探測衛(wèi)星從靜止開始以加速度a作勻加速直線運動，則有：
PQ=OQ-OP=$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$a${（\frac{T}{6}）}^{2}$=$\frac{{aT}^{2}}{24}$…③
二個月為$\frac{1}{6}$T，則PQ所對的圓心角為：θ=60°…④
由幾何關(guān)系得：r=PQ
代入上式得：M=$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$
答：（1）OP之間的距離是$\frac{{aT}^{2}}{72}$；
（2）太陽的質(zhì)量是$\frac{{π}^{2}{a}^{3}{T}^{4}}{3456G}$．

點評 本題是萬有引力與勻變速運動的綜合，關(guān)鍵找出地球與探測器之間的時間關(guān)系，運用幾何知識得到PQ與r的關(guān)系．