Question

小球b靜止在高度為H=1m的光滑平臺(tái)上A處，另一小球a以水平向右的初速度v₀=6m/s與小球b發(fā)生無(wú)動(dòng)能損失的正碰，設(shè)a、b碰撞時(shí)間極短．小球a、b的質(zhì)量分別為m_a=1kg和m_b=2kg．小球b碰后沿著一段粗糙的曲面進(jìn)入一半徑為R=0.4m的光滑豎直圓軌道中恰能通過(guò)最高點(diǎn)C．（g=10m/s²）求：
（1）小球b通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）小球b在粗糙曲面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：小球ab碰撞過(guò)程中同時(shí)滿(mǎn)足動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒，由此列式計(jì)算可以求出a、b兩球碰撞后的速度；小球B在光滑圓軌道中恰能通過(guò)最高點(diǎn)C，說(shuō)明此時(shí)重力提供向心力，由此可以求出在最高點(diǎn)C小球的速度v_C，因?yàn)樵趫A軌道上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒條件可以算出小球在最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)速度，根據(jù)牛頓第二定律，在最低點(diǎn)小球受到的合外力提供向心力，可以求出b通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�小球碰撞后到光滑圓軌道最低點(diǎn)B的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能量定理可以求出克服摩擦力所做的功W．

解答：解：（1）設(shè)小球a、b碰后的速度分別為v₁和v₂，由動(dòng)量守恒和碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能相等：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂           ①

1

2

mav02=

1

2

mav12+

1

2

mbv22    ②
 解①和②得：v₁=-2m/s，v₂=4m/s 
∵v₁=-2m/s說(shuō)明碰后小球a反方向向左運(yùn)動(dòng)，小球b以v₂=4m/s的初速度沿曲面向下進(jìn)入圓軌道，在圓軌道最高點(diǎn)由重力提供向心力得：
mbg=mb

v高2

R

得小球在最高點(diǎn)C的速度v高=

gR

 
 小球b從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由機(jī)械能守恒得：

1

2

mbv低2=

1

2

mbv高2+2mbgR
解得：v低=

5gR

在最低點(diǎn)時(shí)，小球受到地面的支持力和重力的合力提供向心力：
FN-mbg=mb

v低2

R

得：
FN=mb

v低2

R

+mbg=2×

( 5gR )2

R

+2×10N=120N   
（2）設(shè)在曲面上，摩擦力對(duì)小球b做功W，小球b從碰后到最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
mbgH+W=

1

2

mbv低2-

1

2

mbv22        
由（1）分析得v底=

5gR

=

5×10×0.4

=

20

m/s，v₂=4m/s，代入解得：
 W=-16J 
即：小球克服摩擦力做功16J．
答：（1）小球b通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為120N；
（2）小球b在粗糙曲面上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服摩擦力做的功為16J．

點(diǎn)評(píng)：小球碰撞中過(guò)程中動(dòng)量守恒，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，合外力提供向心力．