Question

6．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）若測(cè)得引力常量為G，試“稱量”地球的質(zhì)量M；
（2）試推導(dǎo)每宇宙速度V的表達(dá)式；
（3）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的周期T．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求出地球的質(zhì)量．
（2）第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，其軌道半徑近似等于地球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大�。�
（3）根據(jù)衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力列出等式，聯(lián)立求解．

解答 解：（1）在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
（2）衛(wèi)星繞地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的萬(wàn)有引力近似等于重力，設(shè)飛船的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，則有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$，
（3）衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，r=R+h
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
答：（1）地球的質(zhì)量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）第一宇宙速度V的表達(dá)式是v=$\sqrt{gR}$；
（3）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌道距離地面高度為h，衛(wèi)星的周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．