Question

5．如圖所示，在水平面上，一段直軌道右端連接有一段半徑為R的1/4固定光滑圓弧軌道，直軌道上物體B左側(cè)是光滑的，右側(cè)BC之間是粗糙的，長度為2m．有一個質(zhì)量為2.0kg的物體A壓縮靠近左邊墻面的彈簧，物體A與BC之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．質(zhì)量為2.0kg的物體B被長度為l=0.5m的細線豎直懸掛，釋放A以后，A運動到B處與B發(fā)生彈性碰撞（碰撞時A、B的速度交換）．碰撞后B剛好能過最高點．

則：（1）物體B與物體A碰撞后的速度是多少？
（2）物體A最后停下的位置距離C點多遠；
（3）如果增大開始時的A對彈簧的壓縮量使得開始時彈簧的彈性勢能增大，當初始時刻彈簧具有的彈性勢能滿足什么條件時，物體A將能第二次滑上圓弧軌道，且連接B的繩不會松弛．

Answer 1

分析 （1）由于B剛好能過最高點，則在最高點，重力提供向心力，從最高點到最低點的過程中，根據(jù)機械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）當A、B碰撞時，物體A、B在第一次碰撞之后速度互換，B做圓周運動時，A靜止在于B發(fā)生彈性碰撞的位置，當B經(jīng)過最高點回到最低點時，又與A發(fā)生彈性碰撞，速度互換，物體A在水平面BC上滑動的總路程為s，由動能定理列式求解；
（3）當開始時彈簧的彈性勢能增大，則第一次碰撞后A的速度增大，當物體第一次沖上曲面后滑下，經(jīng)過BC段與B碰撞，速度交換，由于繩子不能松弛，分B物體剛好能運動到圓心等高和B物體剛好能完成整個圓周運動兩種情況討論求解．

解答 解：（1）由于B剛好能過最高點，假設B在最高點的速度為v₀，則由重力完全提供向心力，則有：$mg=m\frac{v_0^2}{l}$，
可得：${v_0}=\sqrt{gl}$-----①
假設B在最低點時的速度為$v_B^'$，則由機械能守恒有：$\frac{1}{2}mv_B^{'2}=mg2l+\frac{1}{2}mv_0^2$-----②
聯(lián)立①②可得：$v_B^'=\sqrt{5gl}$=5m/s
（2）當A、B碰撞時，物體A、B在第一次碰撞之后速度互換，B做圓周運動時，A靜止在于B發(fā)生彈性碰撞的位置，當B經(jīng)過最高點回到最低點時，又與A發(fā)生彈性碰撞，速度互換，則A又以$v_A^'=5m/s$向右做減速運動，設物體A在水平面BC上滑動的總路程為s．
由動能定理有：$\frac{1}{2}mv_A^2=μmgs$，
得：$s=\frac{v_A^2}{2μg}$=2.5m
由于BC長度為2m，故物體停在距離C點0.5m的位置處．
（3）當開始時彈簧的彈性勢能增大，則第一次碰撞后A的速度增大，當物體第一次沖上曲面后滑下，經(jīng)過BC段與B碰撞，速度交換，由于繩子不能松弛，如果B物體剛好能運動到圓心等高，回到最低點速度為：$mgl=\frac{1}{2}mv_1^2$，
物體A再次在BC面上運動距離s₁，$\frac{1}{2}mv_1^2=μmg{s_1}$，
得s₁=1m，物體到BC段中點停止，不能再上曲面CD；
如果B物體剛好能完成整個圓周運動，A再次運動到BC段的速度為v₂，由第一問計算可知：v₂=5m/s，物體能沖上斜面．
根據(jù)能量守恒有：${E_P}=2μmg{l_{BC}}+\frac{1}{2}mv_2^2$=65J，
所以彈簧的彈性勢能需要大于65J，物體才能第二次沖上斜面．
答：（1）物體B與物體A碰撞后的速度是5m/s；
（2）物體A最后停下的位置距離C點0.5m處；
（3）如果增大開始時的A對彈簧的壓縮量使得開始時彈簧的彈性勢能增大，當初始時刻彈簧具有的彈性勢能大于65J時，物體A將能第二次滑上圓弧軌道，且連接B的繩不會松弛．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律和運動學公式與圓周運動的綜合，要求同學們能正確分析物體的運動情況，知道圓周運動向心力的來源，明確物體恰好通過最高點時，由重力提供向心力．