Question

13．如圖所示，質量為M=1kg的平板小車的左端放著一個質量為m=3kg的小鐵塊，鐵塊和小車之間的動摩擦因數為μ=0.5．開始時，小車和鐵塊一起以速度v=3m/s在光滑水平地面上向右運動，之后小車與墻壁發(fā)生碰撞，碰撞時間極短，碰撞后小車原速率反向彈回．車身足夠長，使得鐵塊不會與墻相碰，也不會從車上落下（g取10m/s²）．求：
（1）小車碰撞后，小車的右端與墻之間的最大距離s₁及小車的最小長度；
（2）小車和墻相碰后所通過的總路程．

Answer 1

分析 （1）小車與墻碰撞后，系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律可求得速度，由運動學公式可求得小車距墻壁的最大距離；由功能關系可求得小車的長度；
（2）對系統(tǒng)由動量守恒定律可求得碰后速度的表達式，再由數學規(guī)律可求得的總路程．

解答 解：（1）小車與墻碰撞后，小車的速度向左，物體的速度向右；大小均為3m/s；設向右為正方向，M速度為零時，m的速度為v；
則由動量守恒定律可知：
mv₀-Mv₀=mv+0
解得：v=2m/s；
因m在M上做勻減速運動，加速度a₁=-μg=-0.5×10=-5m/s²；
由v=v₀+at可得：
t=$\frac{2-3}{-5}$=0.2s；
小車向左做減速運動，加速度a'=$\frac{μmg}{M}$=15m/s²；
M向左運動的位移x=$\frac{1}{2}a′{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×15×0.04$=0.3m；此為小車距墻壁的最大距離；
小車向右繼續(xù)運動，假設到達最右端時速度恰好相同，則由動量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v₁
解得：v₁=1.5m；
由功能關系可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$Mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²+μmgL
解得：L=0.9m；
（2）設車與墻第n次碰后邊率為v_n，則第（n+1）次碰后速率為v_n+1，對物塊與車由動量守恒得：
mv_n-Mv_n=（m+M）v_n+1
所以v_n+1=$\frac{（m-M{）v}_{N}}{m+M}$=$\frac{1}{2}$v_n．
車與墻第（n+1）次碰后最大位移
s_n+1=$\frac{{v}_{N+1}^{2}}{2a}$=$\frac{1}{4}$S_n
可見車每次與墻碰后的最大位移是一個等比數列，其q=$\frac{1}{4}$，
所以車與墻碰后的總路程
S_M=2（S₁+S₂+…+S_n+…）=2 S₁•（1十$\frac{1}{4}$十…+$\frac{1}{{4}^{n-1}}$+…）=$\frac{{2S}_{1}}{1-q}$
車第一次與墻碰后最大位移 S₁=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，
a=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×30}{1}$=15m/s²
可算得 S₁=0.3m
所以S_M=1.2m
答：（1）小車碰撞后，小車的右端與墻之間的最大距離為0.3m；小車的最小長度為0.9m；
（2）小車和墻相碰后所通過的總路程為1.2m．

點評 本題考查動量守恒、功能關系及運動學規(guī)律的應用，要注意正確分析物理過程明確物理規(guī)律的應用；同時注意數學規(guī)律的正確應用．