Question

如圖所示，傾角為α的光滑斜面與半徑為R=0.4m的半圓形光滑軌道在同一豎直平面內(nèi)，其中斜面與水平面BE光滑連接，水平面BE長為L=0.4m，直徑CD沿豎直方向，C、E可看作重合．現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從斜面上距B點(diǎn)豎直距離為H的地方由靜止釋放，小球在水平面上所受阻力為其重力的

1

5

．（取g=10m/s²）
（1）若要使小球經(jīng)E處水平進(jìn)入圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動，H至少要有多高？若小球恰能沿軌道運(yùn)動，那么小球在水平面DF上能滑行多遠(yuǎn)？
（2）若小球釋放處離B點(diǎn)的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的G點(diǎn)，求此h的值．

Answer 1

分析：（1）小球從光滑軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)B點(diǎn)時的速度大小為υ．小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m

v2

R

，在BC平面上做勻減速運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)速度位移公式列式，聯(lián)立即可求解；
（2）若h＜H，小球過E點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，設(shè)球經(jīng)E點(diǎn)時的速度大小為υ_x，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律結(jié)合動能定理即可求解．

解答：解：（1）小球從光滑軌道下滑，機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)B點(diǎn)時的速度大小為υ．則：mgH=

1

2

mv2
因?yàn)樾∏蛟谒�平面上所受阻力為其重力�?span id="txws5vi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

5

，根據(jù)牛頓第二定律得：
a=

kmg

m

=2m/s²
vE2-v2=-2aL
小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m

vE2

R

，
聯(lián)立以上幾式并代入數(shù)據(jù)解得：H≥0.28m
小球恰能沿軌道運(yùn)動，根據(jù)動能定理得：
mg?2R-kmgx=0-

1

2

mvE2
解得：x=5m
（2）若h＜H，小球過E點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，設(shè)球經(jīng)E點(diǎn)時的速度大小為υ_x，則擊中G點(diǎn)時：
豎直方向：R=

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2

gt2①
水平方向：R=υ_xt…②
由動能定理有：mgh-kmgL=

1

2

mvx2③
由①②③解得h=0.18m
答：（1）若要使小球經(jīng)E處水平進(jìn)入圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動，H至少要有0.28m，若小球恰能沿軌道運(yùn)動，那么小球在水平面DF上能滑行5m；
（2）若小球釋放處離B點(diǎn)的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的G點(diǎn)，此h的值為0.18m．

點(diǎn)評：本題是圓周運(yùn)動結(jié)合平拋運(yùn)動的題型，要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，在圓周最高點(diǎn)必須滿足mg≤m

v2

R

，若不滿足，則小球做平拋運(yùn)動，難度適中．