Question

5．相距很近的平行板電容器AB，A、B兩板中心各開(kāi)有一個(gè)小孔，如圖甲所示，靠近A板的小孔處有一電子槍，能夠持續(xù)均勻地發(fā)射出電子，電子的初速度為v₀，質(zhì)量為m，電量為e，在AB 兩板之間加上圖乙所示的交變電壓，其中0＜k＜1，U₀=$\frac{mv_0^2}{6e}$；緊靠B 板的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的電壓也等于U₀，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距為d，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的中軸線（虛線）過(guò)A、B兩板中心，距偏轉(zhuǎn)極板右端L/2處垂直中軸線放置很大的熒光屏PQ．不計(jì)電子的重力和它們之間的相互作用，電子在電容器AB中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)．
（1）在0～T 時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置發(fā)光，試求這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．（結(jié)果用L、d 表示，第2小題亦然）
（2）以偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的中軸線為對(duì)稱軸，只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足什么要求？
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)及熒光屏，當(dāng)k 取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，使在0～T 時(shí)間內(nèi)通過(guò)電容器B 板的所有電子，能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，求k的值．

Answer 1

分析 （1）在0-T時(shí)間內(nèi)，根據(jù)動(dòng)能定理求出電子穿出B板后的速度，在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，電子做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到偏轉(zhuǎn)距離．根據(jù)推論：電子射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，好像從“中點(diǎn)射出”，得到打在熒光屏上的坐標(biāo)．再運(yùn)用同樣的方法求出在kT-T 時(shí)間內(nèi)，電子打在熒光屏上的坐標(biāo)，即可求得這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離．
（2）考慮到臨界條件，當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，由上題結(jié)果求出極板間距應(yīng)滿足什么要求．
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長(zhǎng)度必須相等，分別得到電子束長(zhǎng)度的表達(dá)式，根據(jù)相等關(guān)系即可求得k．

解答 解：（1）電子經(jīng)過(guò)A、B間的電場(chǎng)后速度減小或增大，在0～kT時(shí)間內(nèi)，設(shè)穿出B板后速度變?yōu)関₁，則$-e{U_0}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
將${U_0}=\frac{mv_0^2}{6e}$代入解得${v_1}=\sqrt{\frac{{4e{U_0}}}{m}}$或${v_1}=\sqrt{\frac{2}{3}}{v_0}$
在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，L=v₁t₁，所以${t_1}=\frac{L}{v_1}$
速度偏向角$tan{θ_1}=\frac{v_y}{v_1}=\frac{{a{t_1}}}{v_1}=\frac{{\frac{{e{U_0}}}{md}•\frac{L}{v_1}}}{v_1}=\frac{L}{4d}$
由類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)得${y_1}=（\frac{L}{2}+\frac{L}{2}）tan{θ_1}=\frac{L^2}{4d}$
在kT～T時(shí)間內(nèi)，設(shè)穿出B板后速度變?yōu)関₂，同理可得${v_2}=\sqrt{\frac{{8e{U_0}}}{m}}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}{v_0}（=\sqrt{2}{v_1}）$，速度偏向角$tan{θ_2}=\frac{L}{8d}$，${y_2}=\frac{L^2}{8d}$
所以兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離$△y={y_1}-{y_2}=\frac{L^2}{8d}$
（2）若當(dāng)極板間距為d′時(shí)，電子剛從偏轉(zhuǎn)極板邊緣飛出，則有$\frac{d'}{2}=\frac{1}{2}a'{t^2}=\frac{1}{2}•\frac{{e{U_0}}}{md'}•{（\frac{L}{v}）^2}$
整理得$d'=\sqrt{\frac{{e{U_0}{L^2}}}{{m{v^2}}}}$
對(duì)應(yīng)于速度v₁，${d'_1}=\sqrt{\frac{{e{U_0}{L^2}}}{mv_1^2}}=\frac{L}{2}$；
對(duì)應(yīng)于速度v₂，${d'_2}=\sqrt{\frac{{e{U_0}{L^2}}}{mv_2^2}}=\frac{{\sqrt{2}L}}{4}$
以虛線為對(duì)稱軸調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距，要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足：$\frac{{\sqrt{2}L}}{4}＜d'＜\frac{L}{2}$
（3）要求在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，前后兩段電子束的長(zhǎng)度必須相等（且剛好重疊）．
第一束長(zhǎng)度l₁=v₁×kT   
第二束長(zhǎng)度l₂=v₂×（T-kT）  
當(dāng)l₁=l₂時(shí)，即v₁×kT=$\sqrt{2}{v_1}$×（T-kT）
解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+1}}=2-\sqrt{2}$
答：
（1）在0-T 時(shí)間內(nèi)，熒光屏上有兩個(gè)位置會(huì)發(fā)光，這兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)之間的距離是$\frac{{L}^{2}}{8d}$．
（2）只調(diào)整偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)極板的間距（仍以虛線為對(duì)稱軸），要使熒光屏上只出現(xiàn)一個(gè)光點(diǎn)，極板間距應(yīng)滿足的要求是：$\frac{{\sqrt{2}L}}{4}＜d'＜\frac{L}{2}$．
（3）撤去偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)及熒光屏，當(dāng)k取恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，使在0-T 時(shí)間內(nèi)通過(guò)電容器B 板的所有電子，能在某一時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束，k值是2-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題利用帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)列方程進(jìn)行解答，關(guān)鍵要分析出臨界條件和隱含的條件．