Question

19．如圖所示，真空中有方向垂直紙面向里的勻強磁場和方向沿x軸正方向的勻強電場，當質量為m的帶電粒子以速度v沿y軸正方向射入該區(qū)域時，恰好能沿y軸做勻速直線運動；若撤去磁場只保留電場，粒子以相同的速度從O點射入，經(jīng)過一段時間后通過坐標為（L，2L）的b點；若撤去電場，只保留磁場，并在直角坐標系xoy的原點O處放置一粒子源，它能向各個方向發(fā)射質量均為m、速度均為v的帶電粒子，不計粒子的重力和粒子之間的相互作用力；求：
（1）只保留電場時，粒子從O點運動到b點，電場力所做的功W；
（2）只保留磁場時，粒子源發(fā)射的粒子從O點第一次運動到坐標為（L，2L）的a點所用的時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規(guī)律與功的計算公式可以求出電場力做的功．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律、粒子周期公式求出粒子的運動時間．

解答 解：（1）設粒子的電量為q，勻強電場強度為E，磁感應強度為B．只保留電場時，粒子從O點運動到b點，
有：
2L=vt  …①
qE=ma  …②
L=$\frac{1}{2}$at² …③
W=qEL  …④
聯(lián)解①②③④得：
W=$\frac{1}{2}$mv²…⑤
（2）當電場和磁場同時存在時，有：
qvB-qE=0…⑥
若撤去電場保留磁場，則由牛頓定律：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑦
聯(lián)解得：
R=2L…⑧
粒子做勻速圓周運動軌跡如圖所示的兩種情況，圓心分別為O₁、O₂，易知△O₁aO和△O₂aO均為等邊三角形，所以：
θ=$\frac{π}{3}$…⑨
粒子從O點第一次到達a點所用的時間分別為：
t₁=$\frac{θR}{v}$=$\frac{2πL}{3v}$…⑩
t₂=$\frac{（2π-θ）R}{v}$=$\frac{5πR}{3v}$=$\frac{10πL}{3v}$…⑪
答：（1）只保留電場時，粒子從O點運動到b點，電場力所做的功W為$\frac{1}{2}$mv²；
（2）只保留磁場時，粒子源發(fā)射的粒子從O點第一次運動到坐標為（0，2L）的a點所用的時間t為$\frac{2πL}{3v}$或$\frac{10πL}{3v}$．

點評 本題考查了粒子做類似平拋運動和勻速圓周運動的基本規(guī)律，畫出圓周運動的軌跡并結合幾何關系列式分析是關鍵．