Question

9．如圖所示，在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直擋板，其上有一小孔P，OP足夠遠(yuǎn)，現(xiàn)有一質(zhì)量m=4×10^-20kg，帶電荷量為q=+2×10^-14C的粒子，從小孔以速度v₀=3×10⁴m/s水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，方向垂直紙面向外的一矩形區(qū)域，且在飛出磁場(chǎng)區(qū)域后能垂直于打在OA面上，粒子重力不計(jì)，求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）矩形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，并由圓周運(yùn)動(dòng)公式求出周期．
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由幾何知識(shí)得到軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）當(dāng)粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時(shí)，圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑最小，則知最小半徑的值．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中，由洛倫茲力提供向心力，
根據(jù)牛頓第二定律得$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$，$T=\frac{2πr}{v}$
則有：$r=\frac{mv}{Bq}$，代入數(shù)據(jù)，解得：r=0.3m
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，由幾何知識(shí)得到軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ=60°，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{π}{3}$×10^-5s
（3）當(dāng)粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時(shí)，矩形磁場(chǎng)區(qū)域的面積最小，根據(jù)幾何知識(shí)得知，PQ=$\sqrt{2}$d=0.3m，
則磁場(chǎng)最小最小面積為S_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}d$×$\sqrt{2}$d=0.45m²；
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為0.3m；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$\frac{π}{3}$×10^-5s；
（3）矩形區(qū)域的最小面積0.45m²．

點(diǎn)評(píng) 本題中圓形磁場(chǎng)區(qū)域最小的直徑等于入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離是常用的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，在本題中要靈活運(yùn)用．