Question

4．如圖所示，在水平軌道右側(cè)安放半徑為R=0.2m的豎直圓形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設(shè)特殊材料，調(diào)節(jié)其初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1m，水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于自然狀態(tài)．質(zhì)量為m=1kg的小物塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道右側(cè)以初速度v₀=2$\sqrt{3}$ m/s沖上軌道，通過圓形軌道、水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經(jīng)水平軌道返回圓形軌道．物塊A與PQ段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，軌道其他部分摩擦不計(jì)，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小v₁；
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度h₁；
（3）調(diào)節(jié)PQ段的長(zhǎng)度L，A仍以v₀從軌道右側(cè)沖上軌道，當(dāng)L滿足什么條件時(shí)，物塊A能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道．

Answer 1

分析 （1）物塊A從Q到P過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理，結(jié)合摩擦力做功，從而求出物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大�。�
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得回到圓軌道的速度大小，再根據(jù)動(dòng)能定理求出A能夠上升的高度，并討論能否達(dá)到此高度．
（3）A物塊能返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道，要么能夠越過圓軌道的最高點(diǎn)，要么在圓軌道中上升的高度不要超過圓軌道的半徑，結(jié)合動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律和牛頓第二定律求出l所滿足的條件．

解答 解：（1）設(shè)物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為v₁，物塊從開始運(yùn)動(dòng)到P的過程，由動(dòng)能定理，可得：
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²；
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=2$\sqrt{2}$ m/s…①
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度為h₁，由動(dòng)能定理得：
-μmgL-mgh₁=0-$\frac{1}{2}$mv₁²
代入數(shù)據(jù)解得：h₁=0.2m=R，符合實(shí)際…②
（3）①若A沿軌道上滑至最大高度h₂時(shí)，速度減為0，則h₂滿足：
  0＜h₂≤R…③
由動(dòng)能定理得：-2μmgL₁-mgh₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²…④
聯(lián)立③④得：1m≤L₁＜1.5 m②若A能沿軌道上滑至最高點(diǎn)，則滿足：
 m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$≥mg…⑤
由動(dòng)能定理得：
-2μmgL₂-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑥
聯(lián)立⑤⑥得：L₂≤0.25 m
綜上所述，要使物塊A能第一次返回圓形軌道并沿軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離軌道，L滿足的條件是：1m≤L＜1.5m或 L≤0.25 m．
答：（1）物塊A與彈簧剛接觸時(shí)的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s．
（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓形軌道的高度0.2m．
（3）A物塊能第一次返回圓形軌道且能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道的條件是：1m≤l＜1.5m或 l≤0.25m．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律，關(guān)鍵要掌握小球不脫離圓軌道的條件，知道有兩種情況，不能漏解，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練．