Question

16．如圖所示，有一固定的且內(nèi)壁光滑的半球面，球心為O，最低點(diǎn)為C，在其內(nèi)壁上有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A和B，在兩個(gè)高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點(diǎn)的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°，以最低點(diǎn)C所在的水平面為重力勢(shì)能的參考平面，則（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）（　�。�

• A． A、B兩球所受支持力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為4：3
• C． A、B兩球的動(dòng)能之比為16：9
• D． A、B兩球的機(jī)械能之比為1：1

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠兩個(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出支持力之比，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線速度之比．從而得出動(dòng)能之比．根據(jù)高度求出重力勢(shì)能，從而得出重力勢(shì)能之比．

解答 解：A、根據(jù)平行四邊形定則得，N=$\frac{mg}{cosθ}$，則$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}=\frac{cos37°}{cos53°}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}$．故A正確．
B、根據(jù)mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，
解得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mgRtanθsinθ$，
則A、B兩球的動(dòng)能之比為：$\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}=\frac{64}{27}$．
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}cosθ}{g}}$，則$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．故BC錯(cuò)誤．
D、小球的重力勢(shì)能為：E_p=mgR（1-cosθ），
機(jī)械能為：E=E_K+E_P=mgR（1-cosθ）+$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ=mgR（1+$\frac{1}{2}$tanθsinθ-cosθ）；
得：$\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}=\frac{2+tan53°sin53°-2cos53°}{2+tan37°sin37°-2cos37°}=\frac{112}{51}$．故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律得出線速度、周期的關(guān)系．同時(shí)注意能量關(guān)系．