Question

15．如圖所示，從A點(diǎn)以v₀=4m/s的水平速度拋出一質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道C端切線水平．已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.6m，h=0.15m，R=0.75m，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，g=10m/s²．求：

（1）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力；
（2）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定理求出軌道C點(diǎn)對(duì)物塊的支持力，從而得出物塊對(duì)C點(diǎn)的壓力．
（2）當(dāng)物塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，通過(guò)物塊與木板間的摩擦力和地面對(duì)木板的最大靜摩擦力比較，判斷木板處于靜止?fàn)顟B(tài)，結(jié)合速度位移公式求出長(zhǎng)木板的至少長(zhǎng)度．

解答 解：（1）從A至C點(diǎn)，由動(dòng)能定理得，$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$    ①
設(shè)C點(diǎn)受到的支持力為F_N，則有：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
由①式代入數(shù)據(jù)解得${v}_{2}=2\sqrt{7}$m/s，F(xiàn)_N=47.3N，
根據(jù)牛頓第三定理可知，物塊m對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力為47.3N．
（2）由題意可知，小物塊m對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力f=μ₁mg=0.5×10N=5N，
木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力f′=μ₂（M+m）g=0.2×50N=10N，
因?yàn)閒＜f′，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)，
小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，到長(zhǎng)木板右端時(shí)速度剛好為零，
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度的至少為：l=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2a}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{μ}_{1}g}=\frac{28}{2×5}m=2.8m$．
答：（1）小物塊滑動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力為47.3N．
（2）長(zhǎng)木板至少為2.8m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合運(yùn)用，對(duì)于第二問(wèn)，判斷長(zhǎng)木板是否運(yùn)動(dòng)是解決本題的關(guān)鍵．