Question

20．1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時間可以忽略不計．磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與盒面垂直．在D盒中心A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U．
（1）求粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)動能定理和洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑與加速電壓的關(guān)系，從而求出軌道半徑之比．
（2）通過D形盒的半徑求出粒子的最大速度，結(jié)合動能定理求出加速的次數(shù)，一個周期內(nèi)加速兩次，從而得知在磁場中運動的周期次數(shù)，確定出粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間．

解答 解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁
qU=$\frac{1}{2}$mv₁²
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
聯(lián)立以上解得：r₁=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑r₂=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{4mU}{q}}$
則 r₁：r₂=1：$\sqrt{2}$
（2）設(shè)粒子到出口處被加速了n圈，解得：2nqU=$\frac{1}{2}$mv²；
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
T=$\frac{2πm}{qB}$
t=nT
解上四個方程得：t=$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$
答：（1）粒子第2次和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比為1：$\sqrt{2}$．
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時間為$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握回旋加速器的原理，運用電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)，知道粒子在磁場中運動的周期與加速電場的變化周期相等．