Question

如圖所示，傳送帶以v為7

2

m/s速度向左勻速運行，DE段長L為4m，半徑R為1.8m的光滑半圓弧槽在D點與水平傳送帶相切，半圓弧槽末端D點靜止放置一質量m₂為0.4kg的小滑塊Q，一質量m₁為0.2kg的小滑塊P從C處無初速度滑下，到達最底端與小滑塊發(fā)生彈性正碰，兩滑塊都可以視為質點，且與傳送帶間的動摩擦因數μ均為0.5，g取10m/s²，不計小滑塊通過連接處的能量損失．求：
（1）小滑塊P從C處無初速度滑下，到軌道底端D碰撞剛結束的瞬間速度
（2）小滑塊Q第一次碰撞后向右運動的最大距離以及此過程產生的熱量
（3）移走小滑塊Q，將小滑塊P無初速度放在傳送帶E端，要使小滑塊能通過A點，傳送帶DE段至少為多長？

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出小滑塊P到達底端D時的速度．對于P、Q碰撞過程，根據動量守恒和機械能守恒列式，求解碰撞剛結束的瞬間P和Q的速度．
（2）小滑塊Q滑上傳送帶先向右做勻減速運動到0，然后向左做勻加速直線運動，可知當速度減小為0時，向右運動的距離最大．根據動能定理求出向右運動的最大距離．由運動學公式求出運動的時間，求出這段時間內傳送帶的位移，從而得出滑塊相對于傳送帶的位移，根據Q=fx_相求出此過程中的熱量．
（3）要使小滑塊能通過E點，臨界情況是通過N點時，軌道對滑塊的彈力為0，有mg=m

v2

R

，求出E點的臨界速度，然后根據機械能守恒定律求出D點的速度，根據動能定理求出傳送帶的最小長度．

解答：解：（1）小滑塊P從C處到軌道底端D，根據能量守恒定律：m₁gR（1-cos60°）=

1

2

m1

v

2 0

解得：v₀=

gR

=3

2

m/s
P、Q在D處發(fā)生彈性碰撞，由動量守恒和能量守恒得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
解得：v₁=-

2

m/s，v₂=2

2

m/s
即碰撞剛結束P的瞬時速度為

2

m/s，方向向左．
（2）小滑塊Q做勻減速運動至停止時距離最大，由動能定理得：
-μm₂gx=-

1

2

m₂v₂²，
向右運動的距離最大為x=0.8m，運動時間為t=

2x

v2

=

2×0.8

2 2

=0.4

2

s
則：x_相=vt+

1

2

v2t=6.4m，產生的熱量為Q=μm₂gx_相=12.8J
（3）小滑塊P恰能通過A點，由向心力公式得：m₁g=m₁

v 2 A

R

小滑塊P從D到A，由動能定理得：-2m₁gR=

1

2

m₁v_A²-

1

2

m₁v_D²
則：v_D=

5gR

=3

10

m/s＜7

2

m/s
則P一直在傳送帶DE段加速，且末速度恰為3

10

m/s，傳送帶最短，
由動能定理得：μm₁gx′=

1

2

m₁v_D²
傳送帶至少為：x′=

v 2 0

2μg

=9m
答：
（1）小滑塊P從C處無初速度滑下，到軌道底端D碰撞剛結束的瞬間速度為

2

m/s．
（2）小滑塊Q第一次碰撞后向右運動的最大距離為6.4m，此過程產生的熱量為12.8J．
（3）移走小滑塊Q，將小滑塊P無初速度放在傳送帶E端，要使小滑塊能通過A點，傳送帶DE段至少為9m．

點評：解決本題的關鍵能夠熟練運用機械能守恒定律，掌握摩擦產生熱量的功能關系式Q=fx_相，以及知道通過N點的臨界情況是軌道的彈力為零，重力沿半徑方向的分力提供向心力．