Question

19．如圖甲所示，一個絕緣傾斜直軌道AE固定在豎直面內，一個質量為m、電量為q的帶正電物體（可視為質點）放在軌道最高點A處，軌道的AB部分粗糙，與物體間的動摩擦因數為μ，BE部分光滑．整個空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強電場，電場強度隨時間的變化規(guī)律如圖乙所示，且t=0時電場方向豎直向下．在過B點的豎直虛線右側存在著方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B滿足qB=2πm．在t=0時刻將物體從A點靜止釋放，在t=2s時刻物體達到B點，在B點以后的運動過程中，物體沒有離開磁場區(qū)域，且物體在軌道上的BC和CD段運動時間相等，均為t₀=1s．已知重力加速度為g，物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ．

（1）由于軌道傾角未知，一位同學用量角器將其測出并記為θ，求物體達到B點時的速度大�。�
（2）另一位同學并未使用量角器，而是用直尺分別測出了BC、CD的長度，分別記為L₁、L₂，求軌道傾角θ；（可以用三角函數值表示）
（3）觀察物體在D點以后的運動過程中，發(fā)現它并未沿著斜面運動，且物最終剛好水平打在F點處的擋板（高度可以忽略）上停下．若斜面傾角θ已知，求E點與F點的間距L，并在圖乙中畫出物體全程的運動軌跡．

Answer 1

分析 （1）在0～1s內，電場力方向豎直向下，根據牛頓第二定律求出加速度，從而根據運動學公式求出末速度，在1～2s內，電場力方向豎直向上，大小等于重力，物體做勻速直線運動．
（2）根據牛頓第二定律求出物體在光滑斜面上運動的加速度，根據相等時間內的位移之差是一恒量，求出傾角θ的表達式．
（3）物體在D點重力和電場力平衡，做勻速圓周運動，圓弧的軌跡恰好相切于H點，根據幾何關系，結合帶電粒子在勻強磁場中的半徑公式求出F點與H點的間距L．

解答 解：（1）由題意可知 qE=mg，
t=0 到t=1s過程中，對物體有：
2mgsinθ-2μmgcosθ=ma               
t=1s到t=2s過程中物體做勻速直線運動，所以
V_B=at₀=2gsinθ-2μgcosθ，其中t₀=1s；
（2）物體在t=2s到t=3s做勻加速直線運動，
加速度為：a′=2gsinθ，
在t=3s到t=4s做勻速圓周運動，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$=1s，
剛好完成一周，在t=4s到t=5s繼續(xù)以a'做勻加速運動到D點，則
L₂-L₁=a′t₀²，解得：sinθ=$\frac{{L}_{2}-{L}_{1}}{2g}$；
（3）物體運動到D點時速度為
V_D=V_B+a'•2t₀=6gsinθ-2μg cosθ       
離開D點后做勻速圓周運動，半徑為R，軌跡如圖，
由牛頓第二定律得：qv_DB=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
由幾何關系可知：$\frac{L}{R}$=tan$\frac{θ}{2}$，
聯立解得：L=$\frac{g}{π}$（3sinθ-μcosθ）tan$\frac{θ}{2}$；
答：（1）物塊滑動到B的速度大小為：2g（sinθ-μcosθ）．
（2）傾角θ的三角函表達式為sinθ=$\frac{{L}_{2}-{L}_{1}}{2g}$；
（3）F點與H點的間距L為：$\frac{g}{π}$（3sinθ-μcosθ）tan$\frac{θ}{2}$．

點評 解決本題的關鍵搞清物體在整個過程中的運動情況，根據物體的受力，判斷物體的運動，物體經歷了勻加速直線運動、勻速直線運動，以及勻加速直線運動和勻速圓周運動，過程較復雜，且與數學幾何結合的比較緊密，對數學能力的要求較高．