Question

10．在平面直角坐標系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸方向的勻強電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點垂直于y軸射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求：
（1）M、N兩點間的電勢差U_MN；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，由速度的分解求出粒子到達x軸的速度大小，再用動能定理即可求得電場中M、N兩點間的電勢差．
（2）粒子以此速度進入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，利用洛倫茲力提供向心力的公式，可由牛頓第二定律求出在磁場中運動的半徑r．
（3）電場中，根據(jù)分位移公式求時間．磁場中，根據(jù)軌跡對應的圓心角求時間，即可得到總時間．

解答 解：（1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，將到達N點的速度分解得知
    vcosθ=v₀
解得，粒子離開電場時的速度大小 v=2v₀．
從M→N過程，由動能定理得：
 qU_MN=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入解得，U_MN=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（2）粒子進入第四象限后，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，則
   qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得粒子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為 r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
（3）畫出軌跡如圖，由幾何知識得：ON=rsin60°
粒子從M點到N點的時間 t₁=$\frac{ON}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}r}{2{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$
粒子從N到P所用的時間：t₂=$\frac{120°}{360°}$T=$\frac{1}{3}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
故總時間 t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{2πm}{3qB}$．
答：（1）M、N兩點間的電勢差U_MN為$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2q}$．
（3）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$．
（4）粒子從M點運動到P點的總時間t為$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$+$\frac{2πm}{3qB}$．

點評 粒子在電場中運動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．