Question

14．（普通班做）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，第I象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第IV象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，一帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)偏轉(zhuǎn)電場后到達x軸上的N點，然后射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點垂直于y軸射出磁場，已知M點的坐標是（0，h），N點的坐標是（2h，0），不計粒子重力，求：
（1）粒子到達N點時的速度v的大小以及v與初速度v₀的夾角θ；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，應用類平拋運動規(guī)律求出速度．
（2）粒子以此速度進入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場中運動的半徑．
（3）粒子的運動分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運動，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運動，分段求出時間，相加可得總時間．

解答 解：（1）粒子在電場中做類平拋運動，
2h=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$at₁²，加速度：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$，v_y=at，
解得：v_y=v₀，t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，則θ=45°；
（2）粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，r=2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角α=135°，
粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{4πh}{{v}_{0}}$，
粒子在磁場中的運動時間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{3πh}{2{v}_{\;}}$，
則粒子的運動時間：t=t₁+t₂=$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$；
答：（1）粒子到達N點時的速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，v與初速度v₀的夾角θ為45°；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子從M點運動到P點的總時間t為$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉(zhuǎn)做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式．