Question

17．如圖所示，質(zhì)量相同的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球做勻速圓周運(yùn)動，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時a、b恰好相距最近．已知地球質(zhì)量為M、半徑為R、地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω．萬有引力常量為G，則（　�。�

• A． 發(fā)射衛(wèi)星b時速度要大于7.9km/s
• B． 若要衛(wèi)星c與b實現(xiàn)對接，可讓衛(wèi)星c加速
• C． 衛(wèi)星b距離地面的高度為$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$
• D． 衛(wèi)星a和b下一次相距最近還需經(jīng)過的時間t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運(yùn)動所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．
衛(wèi)星從低軌道到高軌道需要克服引力做較多的功．b、c在地球的同步軌道上，所以衛(wèi)星b、c和地球具有相同的周期和角速度．

解答 解：A、衛(wèi)星b繞地球做勻速圓周運(yùn)動，7.9km/s是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運(yùn)動所需的最小初始速度，所以發(fā)射衛(wèi)星b時速度大于7.9km/s，故A正確；
B、讓衛(wèi)星c加速，所需的向心力增大，由于萬有引力小于所需的向心力，衛(wèi)星c會做離心運(yùn)動，離開原軌道，所以不能與b實現(xiàn)對接．故B錯誤；
C、b、c在地球的同步軌道上，所以衛(wèi)星b、c和地球具有相同的周期和角速度．
由萬有引力提供向心力，即$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
得：r=$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$．所以衛(wèi)星b距離地面的高度為$\root{3}{\frac{GM}{{ω}^{2}}}$-R：故C錯誤；
D、b與c的角速度：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
a距離地球表面的高度為R，所以衛(wèi)星a的角速度ω_a=$\sqrt{\frac{GM}{{8R}^{3}}}$
此時a、b恰好相距最近，到衛(wèi)星a和b下一次相距最近，
（ω_a-ω）t=2π
t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}}-ω}$，故D正確；
故選：AD．

點評 理解三種宇宙速度，特別注意第一宇宙速度的三種說法．能抓住萬有引力提供向心力列出等式解決問題的思路，再進(jìn)行討論求解．