Question

4．如圖，兩平行金屬導(dǎo)軌相距L、足夠長，與水平面成θ角傾斜放置構(gòu)成一個(gè)斜面．導(dǎo)軌間用一阻值為R的電阻絲相連，R上方磁場(chǎng)垂直斜面向上，R下方磁場(chǎng)沿斜面向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．初始時(shí)金屬棒ab、cd放在金屬導(dǎo)軌上設(shè)法使其保持靜止，棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，且μ＜tanθ．兩棒質(zhì)量均為m、電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．釋放cd棒的同時(shí)，對(duì)ab施加一沿導(dǎo)軌向上的變力F，使其以恒定加速度a由靜止開始沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)．求：
（1）t時(shí)刻通過ab棒的電流；
（2）t時(shí)刻ab棒所受拉力F的大��；
（3）當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時(shí)，通過cd棒的電流及電阻R的發(fā)熱功率P．

Answer 1

分析 （1）ab棒做勻加速運(yùn)動(dòng)，由v=at求出t時(shí)刻的速度，由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再由閉合電路歐姆定律求通過ab棒的電流；
（2）分析ab棒的受力情況，求出安培力大小，再由牛頓第二定律求拉力F的大��；
（3）當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時(shí)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡．由平衡條件和安培力公式求出感應(yīng)電流的大小，再由功率公式求解電阻R的發(fā)熱功率P．

解答 解：（1）t時(shí)刻，ab棒的速度為 v=at                                  
此時(shí)ab棒接入電路部分產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E=BLv=BLat      
通過ab棒的感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{{R}_{總}}$    
總電阻 R_總=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R           　　　　　　　　　
解得I=$\frac{2BLat}{3R}$
（2）ab棒受力如圖所示

沿導(dǎo)軌方向，由牛頓第二定律得：F-mgsinθ-f₁-F_安1=ma 
又  f₁=μN(yùn)₁=μmgcosθ
F_安1=BIL          
聯(lián)立解出 F=mgsinθ+μmgcosθ+ma+$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}at}{3R}$
（3）cd棒受力如圖所示，易知cd棒先做加速度逐漸減小的變加速運(yùn)動(dòng)，然后做加速度逐漸變大的變減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)cd棒合外力為零時(shí)，速度最大．

由平衡條件得：mgsinθ=μ（mgcosθ+BI_cdL）
解出 I_cd=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}$
又I_R=I_cd                                  
故此時(shí)電阻R上的發(fā)熱功率為 P=${I}_{R}^{2}$R=$（\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}）^{2}$R
答：
（1）t時(shí)刻通過ab棒的電流為$\frac{2BLat}{3R}$；
（2）t時(shí)刻ab棒所受拉力F的大小為mgsinθ+μmgcosθ+ma+$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}at}{3R}$；
（3）當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時(shí)，通過cd棒的電流為$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}$，電阻R的發(fā)熱功率P為$（\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{μBL}）^{2}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題中電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是橋梁，推導(dǎo)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)安培力表達(dá)式是關(guān)鍵．