Question

4．我國于2008年9月25日成功發(fā)射了圍繞地球做圓周運動的“神州7號”載人飛船，宇航員翟志剛順利進行了太空出艙活動．
（1）已知飛船質(zhì)量為m，點火后，火箭豎直勻加速升空，T秒末，火箭上升的高度為H處，求火箭勻加速升空的過程中，座椅對宇航員的支持力約為其重力的多少倍？
（2）若已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g．假設(shè)“神州7號”載人飛船上的宇航員離開飛船后身上的速度計顯示其對地心的速度為v，宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，求該宇航員距離地球表面的高度．
（3）已知宇航員及其設(shè)備的總質(zhì)量為M，宇航員通過向后噴出氧氣而獲得反沖力，每秒鐘噴出的氧氣質(zhì)量為m．為了簡化問題，設(shè)噴射時對氣體做功的功率恒為P且噴出氣體的速度遠遠大于飛船的速度，在不長的時間t內(nèi)宇航員及其設(shè)備的質(zhì)量變化很小，可以忽略不計．求噴氣t秒后宇航員獲得的動能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力聯(lián)立求解
（3）根據(jù)動能定理和動量守恒定律聯(lián)立求解

解答 解：（1）點火后火箭豎直勻加速升空，由$H=\frac{1}{2}a{T}_{\;}^{2}$得加速度$a=\frac{2H}{{T}_{\;}^{2}}$．設(shè)座椅對宇航員的支持力約為其重力的n倍，
對宇航員由牛頓第二定律得nmg-mg=ma
解得：$n=\frac{a}{g}+1=\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$
（2）設(shè)地球質(zhì)量為${M}_{0}^{\;}$，在地球表面，對于質(zhì)量為m的物體有，$mg=G\frac{{M}_{0}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
離開飛船后的宇航員繞地球做勻速圓周運動，有$G\frac{{M}_{0}^{\;}M}{{r}_{\;}^{2}}=M\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
聯(lián)立解得：$r=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}$
該宇航員距離地球表面的高度$h=r-R=\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$
（3）因為噴射時對氣體做功的功率恒為P，而單位時間內(nèi)噴氣質(zhì)量為m，故在t時間內(nèi)，據(jù)動能定理
$P×t=\frac{1}{2}mt•{v}_{\;}^{2}$
可求得噴出氣體的速度為：$v=\sqrt{\frac{2P}{m}}$，
另一方面探測器噴氣過程中系統(tǒng)動量守恒，則：0=mt•v-Mu
又宇航員獲得的動能，${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M{u}_{\;}^{2}$
聯(lián)立解得：${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}M（\frac{mt}{M}•\sqrt{\frac{2P}{m}}）_{\;}^{2}=\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$
答：（1）座椅對宇航員的支持力約為其重力的$\frac{2H}{g{T}_{\;}^{2}}+1$倍
（2）該宇航員距離地球表面的高度$\frac{{R}_{\;}^{2}g}{{v}_{\;}^{2}}-R$．
（3）噴氣t秒后宇航員獲得的動能$\frac{mP{t}_{\;}^{2}}{M}$

點評 本題考查了天體運動和動能定理的知識，處理這類題目的主題思路是萬有引力提供天體圓周運動所需要的向心力，根據(jù)需要選擇合適的向心力公式．