Question

如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)兩正對著的相同半圓光滑軌道，軌道半徑R=2m，相隔一定的距離x，虛線沿豎直方向，一質(zhì)量M=0.1kg的小球能在其間運(yùn)動．今在最低點(diǎn)B與最高點(diǎn)A各放一個壓力傳感器，測試小球?qū)�軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來．已知小球在最低點(diǎn)B的速度為v_B=20m/s，取g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球在最低點(diǎn)B對軌道的壓力．
（2）小球能沿光滑軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)A時，x的最大值．
（3）若半圓軌道的間距x可在零到最大值之間變化，試在圖中畫出小球?qū)�軌道B、A兩點(diǎn)的壓力差隨距離x變化的圖象．

Answer 1

分析：（1）小球在最低點(diǎn)時，受到重力和軌道的支持力作用，兩者的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出支持力，再根據(jù)牛頓第三定律得到小球在最低點(diǎn)B對軌道的壓力．
（2）當(dāng)小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)A時，x達(dá)到最大．此時由重力提供小球的向心力，由向心力公式列出A點(diǎn)速度表達(dá)式；小球從A到B的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得出x的最大值．
（3）根據(jù)牛頓定律分別研究B、A兩點(diǎn)的壓力，得到壓力之差的表達(dá)式，再畫出圖象．

解答：解：
（1）小球在最低點(diǎn)時，根據(jù)牛頓第二定律得
         F_B-Mg=M

v 2 M

R

       代入解得F_B=21N 
  又根據(jù)牛頓第三定律：小球在最低點(diǎn)B對軌道的壓力為21N．
（2）小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)A時，
     Mg=M

v 2 A

R

                  ①
小球從A到B的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
    Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ②
聯(lián)立①②，代入解得   x=15m
（3）設(shè)小球?qū)�軌道B、A兩點(diǎn)的壓力大小分別為F_B、F_A．
以小球?yàn)檠芯繉ο�，根�?jù)牛頓第二定律得
    A點(diǎn)：Mg+F_A=M

v 2 A

R

         ③
    B點(diǎn)：F_B-Mg=M

v 2 B

R

         ④
又Mg（2R+x）+

1

2

M

v

2 A

=

1

2

M

v

2 B

  ⑤
△F_N=F_B-F_A ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得
△F_N=x+6 
作圖象如圖．  
答；
（1）小球在最低點(diǎn)B對軌道的壓力為21N．
（2）小球能沿光滑軌道運(yùn)動到最高點(diǎn)A時，x的最大值為15m．
（3）小球?qū)�軌道B、A兩點(diǎn)的壓力差隨距離x變化的圖象如圖所示．

點(diǎn)評：本題考查綜合運(yùn)用機(jī)械能守恒定律和牛頓定律分析動力學(xué)問題的能力．圖象往往根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出解析式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識作圖．