Question

19．已知“嫦娥一號”繞月球飛行軌道近似為圓形，“嫦娥一號”繞月球飛行時(shí)的線速度大小為v，飛行周期為T，月球的半徑為R，引力常量為G．求：
（1）“嫦娥一號”距月球表面的高度；
（2）月球的質(zhì)量；
（3）若發(fā)射一顆繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近月飛船，則其繞月運(yùn)行的線速度應(yīng)為多大．

Answer 1

分析 “嫦娥一號”的軌道半徑r=R+H，由v=$\frac{2πr}{T}$．根據(jù)月球?qū)Α版隙鹨惶枴钡娜f有引力提供“嫦娥一號”的向心力，列方程求解月球的質(zhì)量．繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的飛船軌道半徑約R．

解答 解：（1）“嫦娥一號”運(yùn)行的線速度為：$v=\frac{2π（R+h）}{T}$
得：$h=\frac{vT}{2π}-R$
（2）設(shè)月球質(zhì)量為M，“嫦娥一號”的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律為：$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}{（R+h）^2}$
 解得為：$M=\frac{{{v^3}T}}{2πG}$
（3）設(shè)繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的飛船的質(zhì)量為m₀，線速度為v₀，
根據(jù)牛頓第二定律，對飛船繞月飛行有：$G\frac{{M{m_0}}}{R^2}={m_0}\frac{v_0^2}{R}$
解得：${v_0}=\sqrt{\frac{{{v^3}T}}{2πR}}$
答：（1）“嫦娥一號”距月球表面的高度為$\frac{vT}{2π}$-R；
（2）月球的質(zhì)量$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（3）若發(fā)射一顆繞月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的近月飛船，則其繞月運(yùn)行的線速度應(yīng)為$\sqrt{\frac{{v}^{3}T}{2πR}}$．

點(diǎn)評 點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用萬有引力定律解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵要建立模型，理清思路．