Question

3．一星球的半徑為R，萬有引力常量為G，為了測定該星球的自轉角速度，某人在該星球做了以下實驗：
（1）在該星球的兩極（相當于地球的南極或北極），以初速度v₀（相對地面）從h米高處將一小飛鏢水平拋出，飛鏢觸地時與水平地面成α角；
（2）在該星球的赤道上（相當于地球的赤道），同樣以初速度₀（相對地面）從h米高處將一小飛鏢水平拋出，飛鏢觸地時與水平地面成β角．如果飛鏢在運動的過程中只受該星球的萬有引力，求該星球的自轉角速度是多少？

Answer 1

分析 小球做平拋運動，應用平拋運動規(guī)律求出兩極與赤道處的重力加速度，赤道上的物體所星球做圓周運動，萬有引力與重力之差提供向心力，由牛頓第二定律可以求出 角速度．

解答 解：小球做平拋運動，
在兩極上：
水平方向：v_x=v₀，
豎直方向：v_y²=2gh，
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
解得：g=$\frac{{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}α}{2h}$，
在赤道上：
水平方向：v_x=v₀，
v_y′²=2g′h，
tanβ=$\frac{{v}_{y}′}{{v}_{0}}$，
解得：g′=$\frac{{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}β}{2h}$，
赤道上的物體隨星球做圓周運動，萬有引力與重力之差提供向心力，
由牛頓第二定律得：m（g-g′）=mω²R，
解得：ω=v₀$\sqrt{\frac{ta{n}^{2}α-ta{n}^{2}β}{2Rh}}$；
答：該星球的自轉角速度是v₀$\sqrt{\frac{ta{n}^{2}α-ta{n}^{2}β}{2Rh}}$．

點評 本題關鍵是先通過平拋運動的分運動公式求解重力加速度，同時明確兩級位置重力等于萬有引力，赤道位置重力等于萬有引力與向心力之差，即重力是萬有引力的一個分力．