Question

16．學(xué)校天文學(xué)社招募新社員，需要解決以下問(wèn)題才能加入．請(qǐng)你嘗試一下．已知火星半徑為R，火星的衛(wèi)星“火衛(wèi)一”距火星表面高度為H，繞行速度為V，質(zhì)量為M、m相距為L(zhǎng)的兩物體間引力勢(shì)能公式為E_p=$\frac{-GMm}{L}$．
求：（1）火星的質(zhì)量M；
（2）火星的第二宇宙速度即物體脫離火星引力所需的發(fā)射速度V．（提示：物體在只受萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)滿足機(jī)械能守恒定律．）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)向心力求中心天體的質(zhì)量M；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出脫離火星要克服火星引力做功，根據(jù)勢(shì)能表達(dá)式求解火星的發(fā)射速度．

解答 解：（1）“火衛(wèi)一”的萬(wàn)有引力提供向心力，有：
$\frac{GMm}{（R+H）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+H}$
得：M=$\frac{（R+H）{v}^{2}}{G}$
（2）根據(jù)開(kāi)普勒定律，物體脫離火星引力時(shí)離火星距離足夠大，繞行速度為V=0即動(dòng)能為0，勢(shì)能也為0由機(jī)械能守恒得：
$-\frac{GMm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=0$
解得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2（R+H）}{R}}v$
答：（1）火星的質(zhì)量M為$\frac{（R+H）{v}^{2}}{G}$；
（2）火星的第二宇宙速度即物體脫離火星引力所需的發(fā)射速度為$\sqrt{\frac{2（R+H）}{R}}v$．

點(diǎn)評(píng) 本題要求能夠根據(jù)引力勢(shì)能的表達(dá)式，寫(xiě)出飛船在近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能的表達(dá)式，根據(jù)飛船在橢圓軌道上機(jī)械能守恒，進(jìn)行運(yùn)算．