Question

13．某放置在真空中的裝置如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A、B中間開(kāi)有小孔，小孔的連線與豎直放置的平行金屬板C、D的中心線重合．在C、D的下方有如圖所示的、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的理想上邊界與金屬板C、D下端重合，其磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示，圖乙中的B₀為已知，但其變化周期T₀未知．已知金屬板A、B之間的電勢(shì)差為U_AB=+U₀，金屬板C、D的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，間距為$\frac{\sqrt{3}}{3}$L．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子P（初速度不計(jì)、重力不計(jì)）進(jìn)入A、B兩板之間被加速后，再進(jìn)入C、D兩板之間被偏轉(zhuǎn)，恰能從D極下邊緣射出．忽略偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的邊界效應(yīng)．

（1）求金屬板C、D之間的電勢(shì)差U_CD．
（2）求粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向．
（3）規(guī)定垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向，在圖乙中t=0時(shí)刻該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，并在t₁=$\frac{1}{4}$T₀時(shí)刻粒子的速度方向恰好水平，求磁場(chǎng)的變化周期T₀和該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中加速、偏轉(zhuǎn)，應(yīng)用動(dòng)能定理與類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出電勢(shì)差．
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)能定理與速度的分解可以求出粒子的速度．
（3）分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)粒子的周期公式與運(yùn)動(dòng)過(guò)程求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，
粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
q$\frac{{U}_{cd}}7dqx2ik$=ma，
L=v₀t  $\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$L=$\frac{1}{2}$at²，
解得：U_cd=$\frac{2}{3}$U₀；
（2）粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：
q$\frac{{U}_{cd}}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v=$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$，
粒子由k離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為θ，由平行四邊形定則得：
v₀=vcosθ，
解得：θ=30°；
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子從k進(jìn)入磁場(chǎng)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，由“在t₁=$\frac{1}{4}$T₀時(shí)刻粒子的速度方向恰好水平”可知：
運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ=60°，t₁=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T，則$\frac{1}{6}$T=$\frac{1}{4}$T₀，
解得：T₀=$\frac{4πm}{3q{B}_{0}}$，
由圖乙所示可知，粒子經(jīng)過(guò)e點(diǎn)時(shí)，磁場(chǎng)方向相反，t₂=$\frac{T}{2}$內(nèi)粒子沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周到達(dá)f點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)再反向，
粒子在t₃=$\frac{1}{6}$T內(nèi)沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)到g點(diǎn)，然后在t₄=$\frac{T}{2}$內(nèi)運(yùn)動(dòng)到h點(diǎn)，接著在t₅=$\frac{T}{6}$內(nèi)運(yùn)動(dòng)到i點(diǎn)，最后經(jīng)t₆=$\frac{T}{6}$從j點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，
粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t_總=t₁+t₂+t₃+t₄+t₅+t₆=$\frac{5T}{3}$，t_總=$\frac{10πm}{3q{B}_{0}}$；
答：（1）金屬板C、D之間的電勢(shì)差U_CD為$\frac{2}{3}$U₀；
（2）粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)速度的大小為：$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$，方向：與初速度方向成30°．
（3）磁場(chǎng)的變化周期T₀和為$\frac{4πm}{3q{B}_{0}}$，該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總為$\frac{10πm}{3q{B}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)能定理、類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式即可正確解題，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵．