【題目】已知，函數(shù)的圖象與軸相切．

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【題目】假定一個彈珠（設(shè)為質(zhì)點(diǎn)，半徑忽略不計(jì)）的運(yùn)行軌跡是以小球（半徑）的中心為右焦點(diǎn)的橢圓，已知橢圓的右端點(diǎn)到小球表面最近的距離是1，橢圓的左端點(diǎn)到小球表面最近的距離是5.

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（1）求如圖給定的坐標(biāo)系下橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）彈珠由點(diǎn)開始繞橢圓軌道逆時針運(yùn)行，第一次與軌道中心的距離是時，彈珠由于外力作用發(fā)生變軌，變軌后的軌道是一條直線，稱該直線的斜率為“變軌系數(shù)”，求的取值范圍，使彈珠和小球不會發(fā)生碰撞.

【題目】已知橢圓：左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸的兩個端點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，當(dāng)變化時，給出下列四個命題：①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對稱；②存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個；③的最小值為2；④最大值為，其中正確命題的序號是______.

（1）當(dāng)點(diǎn)P距O處2百米時，求OQ的長；

（2）當(dāng)公路PQ的長最短時，求OQ的長.

【題目】已知函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍．

【題目】若函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數(shù)都有，.

（Ⅰ）求4本書恰好放在四個不同抽屜中的概率；

（Ⅱ）隨機(jī)變量表示放在2號抽屜中書的本數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求和的參數(shù)方程；

（2）已知射線，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且與交于兩點(diǎn)， 與交于兩點(diǎn)，求取得最大值時點(diǎn)的極坐標(biāo).

【題目】某家庭為了解冬季用電量（度）與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某5天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)氣溫在一定范圍內(nèi)時，用電量與氣溫具有線性相關(guān)關(guān)系：

（1）求出用電量關(guān)于氣溫的線性回歸方程；

（2）在這5天中隨機(jī)抽取兩天，求至少有一天用電量低于10（度）的概率.

（附：回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式為，）

【題目】已知函數(shù)，， 為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若，，證明：當(dāng)時，恒成立；

（2）若，，在上存在兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍．