設函數(shù)f（x）=alnx+

1-a

2

x²-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0，
（1）求b；
（2）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜

a

a-1

，求a的取值范圍．

已知點P（2，2），圓C：x²+y²-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
（1）求M的軌跡方程；
（2）當|OP|=|OM|時，求l的方程及△POM的面積．

如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m，經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=

4

3

．
（1）求新橋BC的長；
（2）當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：

年齡（歲）	工人數(shù)（人）
19	1
28	3
29	3
30	5
31	4
32	3
40	1
合計	20

（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；
（2）以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；
（3）求這20名工人年齡的方差．

已知直線l的參數(shù)方程為

x=a-2t y=-4t

（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為

x=4cosθ y=4sinθ

（θ為常數(shù)）．
（1）求直線l和圓C的普通方程；
（2）若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為2，前n項和為S_n，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=

3n2-n

2

，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：對任意的n＞1，都存在m∈N^*，使得a₁，a_n，a_m成等比數(shù)列．

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=

5

2

，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos²

B

2

+sinBcos²

A

2

=2sinC，且△ABC的面積S=

9

2

sinC，求a和b的值．

乒乓球臺面被網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D，某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球，規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分．對落點在A上的來球，小明回球的落點在C上的概率為

1

2

，在D上的概率為

1

3

；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為

1

5

，在D上的概率為

3

5

．假設共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響，求：
（Ⅰ）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；
（Ⅱ）兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學期望．

如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P做直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（　　）