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在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=
5
2
，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2
B
2
+sinBcos2
A
2
=2sinC，且△ABC的面積S=
9
2
sinC，求a和b的值．
考點：余弦定理,正弦定理
專題：三角函數的求值
分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根據a=2，b=
5
2
求出c的長，利用余弦定理表示出cosC，將三邊長代入求出cosC的值即可；
（Ⅱ）已知等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，再利用正弦定理得到a+b=3c，與a+b+c=8聯立求出a+b的值，利用三角形的面積公式列出關系式，代入S=
9
2
sinC求出ab的值，聯立即可求出a與b的值．
解答： 解：（Ⅰ）∵a=2，b=
5
2
，且a+b+c=8，
∴c=8-（a+b）=
7
2
，
∴由余弦定理得：cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
22+(
5
2
)2-(
7
2
)2
2×2×
5
2
=-
1
5
；
（Ⅱ）由sinAcos2
B
2
+sinBcos2
A
2
=2sinC可得：sinA•
1+cosB
2
+sinB•
1+cosA
2
=2sinC，
整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化簡得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=
1
2
absinC=
9
2
sinC，
∴ab=9②，
聯立①②解得：a=b=3．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，a=1，b=2，cosC=
1
4
，則c=
 
；sinA=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={-2，0，2}，B={x|x2-x-2=0}，則A∩B=（　　）
A、∅B、{2}
C、{0}D、{-2}

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科目：高中數學 來源： 題型：

設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是（　　）
A、[-1，1]
B、[-
1
2
，
1
2
]
C、[-
2
，
2
]
D、[-
2
2
，
2
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（　　）
A、
a
d
＞
b
c
B、
a
d
＜
b
c
C、
a
c
＞
b
d
D、
a
c
＜
b
d

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)，規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m，經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=
4
3
．
（1）求新橋BC的長；
（2）當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，點D在橢圓上．DF1⊥F1F2，
丨F1F2丨
丨DF1丨
=2
2
，△DF1F2的面積為
2
2
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=
π
3
，M為BC上一點，且BM=
1
2
．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面POM；
（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱錐P-ABMO的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：cm），所得數據均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有
 
株樹木的底部周長小于100cm．

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