已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，拋物線(xiàn)y²=4

3

x的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A作兩條弦AM、AN分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)，滿(mǎn)足

AM

•

AN

=0，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)MN是否經(jīng)過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)給出證明，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，圓O：x²+y²=1（O為原點(diǎn)），直線(xiàn)l：y=kx+m是圓O的一條切線(xiàn)，且直線(xiàn)l與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積取最大值時(shí)直線(xiàn)l的斜率k的值．

平面向量

a

=（3，-4），

b

=（2，-

8

3

），

c

=（2，y），

a

⊥

c

，
（Ⅰ）計(jì)算：4

a

-3

b

；  
（Ⅱ）求向量

c

的坐標(biāo)； 
（Ⅲ）求

b

與

c

夾角．

已知點(diǎn)A（1，1），B（1，-1），C（

2

cosθ，

2

sinθ）（θ∈R），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m

OA

+n

OB

=2

OC

，求m²+n²；
（2）問(wèn)原點(diǎn)O能否成為△ABC的重心？

△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若a=3，△ABC的面積為2

2

，且b＞c，求b，c．

已知橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，離心率e=

2

3

，一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

5

），以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心的圓C與直線(xiàn)3x-4y+4=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，-3）的直線(xiàn)m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且為x₁x₂+y₁y₂=3時(shí)，求△AOB的面積．

已知圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（6，0）、B（0，8）．
（1）求圓C的方程，并指出圓心和圓的半徑；
（2）若點(diǎn)（x，y）∈圓C，求

y+1

x+7

的取值范圍．

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接A₁C，BD．
（1）求三棱錐A₁-BCD的體積．
（2）求證：A₁C⊥BD．

已知雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為為F₁（-6，0），F(xiàn)₂（6，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，2）．
（1）求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過(guò)點(diǎn)（-

2 6

3

，1）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條直線(xiàn)分別與橢圓交于A，C與B，D，若

AC

•

BD

=0，求四邊形ABCD面積的取值范圍．