Question

已知圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A（6，0）、B（0，8）．
（1）求圓C的方程，并指出圓心和圓的半徑；
（2）若點(diǎn)（x，y）∈圓C，求

y+1

x+7

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）由題設(shè)可知：圓C是直角三角形△AOB的外接圓，且AB為斜邊，求得圓C的圓心和半徑，可得圓C的方程．（2）令

y+1

x+7

=k，則有y+1=k（x+7），表示直線，再根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)可得

|3k-4+7k-1|

k2+1

≤5，由此求得k的范圍．

解答： 解：（1）由題設(shè)可知：圓C是直角三角形△AOB的外接圓，且AB為斜邊，
則圓C的圓心為C（3，4），半徑為5，…
所以圓C的方程為：（x-3）²+（y-4）²=25，
圓C的圓心為C（3，4），半徑為5．
（2）令

y+1

x+7

=k，則有y+1=k（x+7），即：kx-y+7k-1=0表示直線，
∵點(diǎn)（x，y）∈圓C，∴直線與圓C有公共點(diǎn)，則有，

|3k-4+7k-1|

k2+1

≤5，
平方整理得：3k²-4k≤0，解得：0≤k≤

4

3

．
即

y+1

x+7

的取值范圍為0≤

y+1

x+7

≤

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵．還考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題．