設(shè)函數(shù)f（x）=

x+sinx

x

，g（x）=xcosx-sinx
（1）求證：當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，g（x）＜0；
（2）若存在x∈（0，π），使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍．

某公司有價(jià)值a萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產(chǎn)能力，就要對(duì)其進(jìn)行技術(shù)改造，從而提高產(chǎn)品附加值，改造需要投入，假設(shè)附加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間的關(guān)系滿足：
（1）y與a-x和x的乘積成正比；
（2）x=

a

2

時(shí)，y=a²；
（3）0≤

x

2(a-x)

≤t，其中為常數(shù)，且t∈[0，1]．
求：（Ⅰ）設(shè)y=f（x），求f（x）表達(dá)式，并求y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）求出附加值y的最大值，并求出此時(shí)的技術(shù)改造投入．

已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值、最小值；    
（2）試說明f（x）是怎樣由f（x）=sinx變換得來的．

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若以函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x∈（0，3]時(shí)函數(shù)y=g（

2a

x+1

）+m-1的圖象與函數(shù)y=f（x+1）的圖象恰有二個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求f（

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性．

已知橢圓C的參數(shù)方程為

x= 3 2 cosθ y= 1 2 sinθ

（θ為參數(shù)），直線L的參數(shù)方程為

x=1+t y=1-t

（t為參數(shù)）
（1）求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若參數(shù)θ∈[

π

2

，

2π

3

]，試求橢圓C上的點(diǎn)到直線L的距離的最大值和最小值．

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2mcosx+4m-1，m∈R．
（1）當(dāng)m=

1

2

時(shí)，求函數(shù)的最值并求出對(duì)應(yīng)的x值；
（2）如果對(duì)于區(qū)間（-

π

2

，

π

2

]上的任意一個(gè)x，都有f（x）≤5恒成立，求m的取值范圍．

如圖，已知平面ABCD⊥平面BCEF，且四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，∠CBF=90°，BF∥CE，BC⊥CE，DC=CE=4，BC=BF=2，G為CE中點(diǎn)．
（1）作出這個(gè)幾何體的三視圖（不要求寫作法）；
（2）設(shè)P=DF∩AG，Q是直線DC上的動(dòng)點(diǎn)，判斷并證明直線PQ與直線EF的位置關(guān)系；
（3）求直線EF與平面ADE所成角的余弦值．

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
（1）f（x）+f（y）+1≥f（x+y）≥f（x）+f（y）；
（2）f（0）≥f（x），x∈[0，1）；
（3）-f（-1）=f（1）=1
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，求證：f（x）=0
（Ⅲ）若集合M={（x，y）|f（x）f（y）=7}，求集合M在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積．

求函數(shù)f（x）=x+

a

x

+lnx，（a∈R）的單調(diào)區(qū)間．