已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，且a₁＝b₁＝2，b₄＝54，a₁＋a₂＋a₃＝b₂＋b₃．
(1)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
(2)數(shù)列{c_n}滿足c_n＝a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{a_n}滿足：2a_n＋1－2a_n＋a_n＋1a_n＝0且a_n≠0．數(shù)列{b_n}中，b₁＝f(0)且b_n＝f(a_n－1)．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{|b_n|}的前n項和T_n．

(2013·杭州模擬)已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n＝－a_n－^n－1＋2(n∈N^*)，數(shù)列{b_n}滿足b_n＝2ⁿa_n．
(1)求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
(2)設數(shù)列的前n項和為T_n，證明：n∈N^*且n≥3時，T_n＞．
(3)設數(shù)列{c_n}滿足a_n(c_n－3ⁿ)＝(－1)^n－1λn(λ為非零常數(shù)，n∈N^*)，問是否存在整數(shù)λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n＋1＞c_n．

(2013·天津模擬)已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n＝2a_n－2(n∈N^*)，數(shù)列{b_n}滿足b₁＝1，且點P(b_n，b_n＋1)(n∈N^*)在直線y＝x＋2上．
(1)求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
(2)求數(shù)列{a_n·b_n}的前n項和D_n．
(3)設c_n＝a_n·sin²－b_n·cos²(n∈N^*)，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

設滿足以下兩個條件得有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①，②.
（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；
（2）若一個等差數(shù)列既為階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；
（3）記階“期待數(shù)列”的前項和為.
（）求證：；
（）若存在，使，試問數(shù)列是否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

在無窮數(shù)列中，，對于任意，都有，. 設， 記使得成立的的最大值為.
（1）設數(shù)列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等比數(shù)列，且，求的值；
（3）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列.

在無窮數(shù)列中，，對于任意，都有，. 設， 記使得成立的的最大值為.
（1）設數(shù)列為1，3，5，7，，寫出，，的值；
（2）若為等差數(shù)列，求出所有可能的數(shù)列；
（3）設，，求的值.（用表示）

（2013•重慶）設數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
（1）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）已知{b_n}是等差數(shù)列，T_n為前n項和，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求T₂₀．

（2012•廣東）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有．

（2011•浙江）已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項a₁為a（a∈R）設數(shù)列的前n項和為S_n，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n；
（2）記A_n=+++…+，B_n=++…+，當n≥2時，試比較A_n與B_n的大�。�