Question

（本小題滿分13分）如圖，已知拋物線，過焦點(diǎn)F任作一條直線與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線相交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（Ⅰ）證明：動點(diǎn)在定直線上；

（Ⅱ）點(diǎn)P為拋物線C上的動點(diǎn)，直線為拋物線C在P點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)Q（0，4）到直線距離的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）解決直線和拋物線的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論；（2）點(diǎn)Q到直線距離的最小值，應(yīng)先根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)，再由已知條件求出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得到一個參數(shù)方程，利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求出最值即可

試題解析：（1）【解析】
依題意，F(xiàn)（0，1），易知AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為．代入得，即．設(shè)，則， 2分

直線AO的方程為；BD的方程為；解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為， 4分

注意到及，則有，

因此，D點(diǎn)在定直線上． 6分

（Ⅱ）設(shè)為曲線上一點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031506221775932834/SYS201503150622331192691000_DA/SYS201503150622331192691000_DA.019.png">，所以的斜率為，因此直線的方程為，即． 8分

則Q（0，4）點(diǎn)到的距離， 10分

所以

當(dāng)時取等號，所以O(shè)點(diǎn)到距離的最小值為． 13分

考點(diǎn)：（1）直線與拋物線的綜合問題（2）求最小值.