如圖，已知，，，分別是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，△是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，其外接圓為圓．
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）若點(diǎn)是圓劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)異于端點(diǎn)，），直線分別交線段，橢圓于點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）試問：，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.

解析試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需兩個(gè)獨(dú)立條件. 由題意知，，，所以，，所以橢圓的方程為，求圓的方程，有兩個(gè)選擇，一是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心與半徑，二是求圓的一般方程，只需代入圓上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).本題兩個(gè)方法皆簡(jiǎn)單，如易得圓心，，所以圓的方程為（2）（�。┍绢}關(guān)鍵分析出比值暗示的解題方向，由于點(diǎn)在軸上，所以，因此解題方向?yàn)槔眯甭史謩e表示出點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo). 設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，聯(lián)立，消去并整理得，，解得點(diǎn),因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，所以的最大值為．（ⅱ）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分析與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和是否為常數(shù). 直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，所以、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．
試題解析：（1）由題意知，，，
所以，，所以橢圓的方程為，           2分
易得圓心，，所以圓的方程為．4分
（2）解：設(shè)直線的方程為，
與直線的方程聯(lián)立，解得點(diǎn)，     6分
聯(lián)立，消去并整理得，，解得點(diǎn)，
9分 
（�。�
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，
所以的最大值為．                             12分
（ⅱ）直線

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在單位圓上，求橢圓的方程.

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如圖，已知橢圓，直線的方程為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于異于左頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，直線，交直線分別于點(diǎn)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求此時(shí)直線的方程；
（2）試問，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

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已知橢圓的離心率為，其短軸兩端點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與軸分別交于點(diǎn).判斷以為直徑的圓是否過點(diǎn)，并說明理由.

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如圖，設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過準(zhǔn)線上一點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線交拋物線于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的方程及的取值范圍；
（2）是否存在值，使點(diǎn)是線段的中點(diǎn)？若存在，求出值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

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已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線（）與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段 的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí),求面積的最大值.

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如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別
為，其上頂點(diǎn)為已知是邊長(zhǎng)為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求出該定直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且，試判斷的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．

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