Question

已知函數f（x）=1+x-

1

2

x2+

1

3

x3-

1

4

x4+…+

1

2015

x2015，g（x）=1-x+

1

2

x2-

1

3

x3+

1

4

x4-…-

1

2015

x2015．設F（x）=f（x-4）•g（x+3），且函數F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，圓x²+y²=b-a的面積的最小值是

 

．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,圓的標準方程

專題：函數的性質及應用

分析：用零點存在性定理，得f（x）在R上有唯一零點x₁∈（-1，0），g（x）在R上有唯一零點x₂∈（1，2），結合函數圖象的平移知識可得F（x）的零點所在的區(qū)間，由此不難得到b-a的最小值．

解答： 解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…-

x2012

2012

+

x2013

2013

+

1

2015

x2015，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-…-

1

2013

-

1

2015

＜0，
∵函數f（x）有唯一零點x₁，
∴根據根的存在性定理可知x₁∈（-1，0）．
∵g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+

x2012

2012

-

x2013

2013

-

1

2015

x2015，
∴g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…+

1

2012

-

1

2013

＞0，
g（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

22014

2014

-

22015

2015

＜0，
∵函數g（x）有唯一零點x₂，
∴根據根的存在性定理可知x₂∈（1，2）．
由F（x）=g（x+3）f（x-4）=0，
則g（x+3）=0或f（x-4）=0．
由x-4∈（-1，0）．得-1＜x-4＜0，
即3＜x＜4，
∴函數f（x-4）的零點在（3，4）．
由x+3∈（1，2）．，
得1＜x+3＜2，即-2＜x＜-1，
∴函數g（x+3）的零點在（-2，-1）．
即函數F（x）=f（x-4）•g（x+3）的零點在（3，4）和（-2，-1）內，
∵F（x）的零點均在區(qū)間[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），
∴b≥4，a≤-2，
∴b-a≥6，
即b-a的最小值是6．
即x²+y²=b-a的面積的最小值為x²+y²=6的面積的最小值π×(

6

)2=6π
故答案為：6π

點評：本題給出關于x的多項式函數，求函數零點所在的區(qū)間長度的最小值．著重考查了函數的零點．綜合性較強，難度較大．