Question

【題目】已知拋物線上的兩個動點， 的橫坐標(biāo)，線段的中點坐標(biāo)為，直線與線段的垂直平分線相交于點.

（1）求點的坐標(biāo)；

（2）求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件可求出線段的斜率，進(jìn)而求出線段的垂直平分線方程，聯(lián)立直線與線段的垂直平分線方程，即可求出點的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式求出線段的長，再求出點到直線的距離，即可求出的表達(dá)式，再構(gòu)造新函數(shù)，即可求出最大值.

試題解析：（1）∵，有，又點M不在拋物線C上，有，而， ，

∴線段的斜率為 ，

∴線段的垂直平分線方程為，即，

由得，

即，得， ，

∴點的坐標(biāo).

（2）直線的方程為，

由得，

∵，∴，結(jié)合（1）得，

又， ，

∴ ，

又點到直線的距離，

∴ ，

設(shè)， ，

則 ，

令得 (舍去)， ，

由于時， ， 單調(diào)遞增，

時， ， 單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時， 取得最大值，即的面積取得最大值，

故的面積的最大值為 ．