【題目】已知橢圓的長軸長為4,過點
且斜率為
的直線交橢圓于
兩點,且點
為線段
的中點
(1)求橢圓的方程;
(2)設點為坐標原點,過右焦點
的直線交橢圓于
兩點,(
不在
軸上),求
面積
的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由已知條件推導出,設
,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設,由題意設直線AB的方程為
,由
,得關于
的一元二次方程,由此韋達定理、點到直線距離公式等結(jié)合已知條件能求出
面積的最大值.
解:由題知,長軸長為4,即①,
過點且斜率為
的直線交橢圓于
,
設,則
,
,
②,
③.
②③得
,
,
,
,
④
由①④解得,,故橢圓C的標準方程為
(2)由(1)知,則
,所以右焦點
又因為過右焦點的直線交橢圓于
兩點,(
不在
軸上),
設,由題意:
①當斜率不存時,設的方程為
則,
②當斜率存時,設的方程為
,
由題意:
,消去
并整理,得
,
由韋達定理,得
點到直線
的距離為
,
設,
令,得
,又因為
,
當時,
,函數(shù)
在
單調(diào)遞減,
當時,
,函數(shù)
在
單調(diào)遞增,
所以在
沒有極值.
所以當斜率不存時有極大值為
.
綜上所述,面積的最大值為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左,右焦點分別為
,
,點
為橢圓
上任意一點,點
關于原點
的對稱點為點
,有
,且當
的面積最大時為等邊三角形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)與圓相切的直線
:
交橢圓
于
,
兩點,若橢圓上存在點
滿足
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一個粒子從原點出發(fā),在第一象限和兩坐標軸正半軸上運動,在第一秒時它從原點運動到點,接著它按圖所示在
軸、
軸的垂直方向上來回運動,且每秒移動一個單位長度,那么,在2018秒時,這個粒子所處的位置在點______.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系下,方程的圖形為如圖所示的“幸運四葉草”,又稱為玫瑰線.
(1)當玫瑰線的時,求以極點為圓心的單位圓與玫瑰線的交點的極坐標;
(2)求曲線上的點M與玫瑰線上的點N距離的最小值及取得最小值時的點M、N的極坐標(不必寫詳細解題過程).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已定義,已知函數(shù)
的定義域都是
,則下列四個命題中為真命題的是_________.(寫出所有真命題的序號)
① 若都是奇函數(shù),則函數(shù)
為奇函數(shù).
② 若都是偶函數(shù),則函數(shù)
為偶函數(shù).
③ 若都是增函數(shù),則函數(shù)
為增函數(shù).
④ 若都是減函數(shù),則函數(shù)
為減函數(shù).
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