Question

（2007•河?xùn)|區(qū)一模）已知：拋物線方程為y=

1

4

x²+1，點(diǎn)P（x₀，y₀）在拋物線上，且點(diǎn)P處拋物線的切線為直線l．
（Ⅰ）寫出直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)Q，求使|PQ|的長(zhǎng)最小的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：解：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程；
（II）對(duì)于切線方程，令y=0，當(dāng)x₀≠0時(shí)，得x=

x 2 0 -4

2x0

，即可得到Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PQ|²，通過換元，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出其最小值．

解答：解：（I）∵y′=

1

2

x，∴點(diǎn)P處拋物線的切線斜率為

1

2

x0．
∴切線l的方程為y-(

1

4

x

2 0

+1)=

1

2

x0(x-x0)．
（II）令y=0，當(dāng)x₀≠0時(shí)，得x=

x 2 0 -4

2x0

，∴Q(

x 2 0 -4

2x0

，0)．
∴|PQ|²=(x0-

x 2 0 -4

2x0

)2+(

1

4

x

2 0

+1)2=

( x 2 0 +4)2

16

•(

4

x 2 0

+1)．
令t=

x

2 0

＞0，則f（t）=(t+4)2(

4

t

+1)=

(t+4)3

t

．
∴f′（t）=

2(t+4)2(t-2)

t2

，由t＞0，解f′（t）=0得t=2．
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減；當(dāng)2＜t時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)t=2時(shí)，f（t）取得最小值，
從而當(dāng)x0=±

2

時(shí)，|PQ|的長(zhǎng)最小，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(±

2

，

3

2

)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、幾何意義、切線方程、兩點(diǎn)間的公式等是解題的關(guān)鍵．