Question

過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且率心率為

2

2

的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)y=

1

2

x過(guò)線(xiàn)段AB中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，試求直線(xiàn)l與橢圓C的方程．

Answer 1

分析：本題是典型的求圓錐曲線(xiàn)方程的問(wèn)題，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線(xiàn)方程，兩式相減得關(guān)于直線(xiàn)AB斜率的等式，再利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分來(lái)列式求解．

解答：解：由e=

c

a

=

2

2

，得

a2-b2

a2

=

1

2

，從而a²=2b²，c=b
設(shè)橢圓方程為x²+2y²=2b²，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上
則x₁²+2y₁²=2b²，x₂²+2y₂²=2b²，兩式相減得，（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

2(y1+y2)

設(shè)AB中點(diǎn)為（x₀，y₀），則k_AB=-

x0

2yo

，
又（x₀，y₀）在直線(xiàn)y=

1

2

x上，y₀=

1

2

x₀，
于是-

x0

2yo

=-1，k_AB=-1，則l的方程為y=-x+1．
右焦點(diǎn)（b，0）關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為（x′，y′），則

y‘ x’-b =1 y′ 2 =- x′+b 2 +1

解得

x′=1 y′=1-b

由點(diǎn)（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）²=2b²，b²=

9

16

，a²=

9

8

∴所求橢圓C的方程為

8x2

9

+

16y2

9

=1，
l的方程為y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題利用對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)考查用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)性強(qiáng) 待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程，如何處理直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，成為解決本題的關(guān)鍵．注意在設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)要對(duì)直線(xiàn)斜率是否存在進(jìn)行討論．